El Arco Capaz_Resolución del Ejercicio Propuesto

<<Libro de Geometría para el Máster en Formación del Profesorado>>

Hola a todos los curiosos del dibujo en general y del dibujo técnico en particular!!

Volvemos con la continuación de la entrada anterior sobre el ARCO CAPAZ. Si recodáis, os propuse un ejercicio sobre afinidad donde se utiliza el arco capaz, para alejarnos de los típicos ejercicios de triángulos que seguro que ya controláis.

Enunciado: Dados dos punto A y B de un triángulo, y O baricentro de éste, construir su triángulo afín sabiendo que el ángulo de C’ forma 90º (triángulo afín rectángulo).

Datos: eje de afinidad, dirección de afinidad, punto A, punto B, punto O (baricentro).

Como vemos, se nos plantea un ejercicio de AFINIDAD, y aunque más adelante nos referiremos exclusivamente en este concepto, os adelanto características sobre ello: necesitamos un eje de afinidad y una dirección de afinidad. El eje lo forman puntos dobles, es decir, que los puntos son tanto reales como afines al mismo tiempo. 

Con esta breve introducción podemos empezar a resolver el ejercicio. En primero lugar vamos a intentar construir el triángulo ABC con los datos que tenemos. ¿Podemos? Quizá con el baricentro...Podeís reflexionarlo un momento. ¿Qué es el Baricentro? ¿Cómo se relaciona con los lados del triángulo?

Si haceis memoria...1/3-2/3. El segmento donde se encuentra el baricentro es la MEDIANA, en la cual tenemos que la medida OM es 1/3 de toda la mediana, por lo que si queremos saber la posición de C sólo tendremos que trasladar esta medida dos veces hacia arriba.

En el extremos encontraremos el punto C del triángulo, por lo que ya tenemos el triángulo ABC completo.

A continuación tenemos que plantear cómo podemos conseguir que el triángulo afín tenga el ángulo C' de 90º. Como hemos dicho anteriormente, el eje está formado por puntos dobles, por tanto si prolongamos las rectas AC y BC, obtendremos puntos dobles de esas rectas, por lo que las rectas afines A'C' y B'C' pasarán por esos punto I1 e I2.

Si el ángulo C' tiene que ser recto (90º), ese ángulo se encuentra bajo el segmento A'B', por lo que también se encontrará bajo el segmento I1I2. Aquí será donde podremos dibujar nuestro ARCO CAPAZ de 90º.

¿Y en qué parte del arco capaz se encuentra exactamente el punto C'? Necesitaremos dibujar una recta PARALELA a la DIRECCIÓN de afinidad dada.

Con esto podemos dibujar las rectas afines CI1 y C'I1, CI2 y C'I2. Comprobamos así que el ángulo C' que obtenemos es recto (90º)

Para acabar el ejercicio sólo nos quedará posicionar los puntos afines A' y B', los cuales estarán en la intersección de las rectas afines con las rectas paralelas a la dirección de afinidad desde el punto A y B.

Por tanto, ya tenemos el ejercicio resuelto: triángulo rectángulo afín A'B'C' del triángulo ABC.

Espero que hayáis entendido todo el proceso, y para que analicéis las partes de éste os dejo el ejercicio resuelto en Geogebra con el que podréis modificar la posición de los puntos A y B y veréis cómo cambia la respuesta.

Con esto me despido, y ya sabéis, cualquier duda o sugerencia no dudéis en dejarme un comentario. 

Un saludo, y no dejéis de dibujar!!

El Arco Capaz_Teoría

<<Libro de Geometría para el Máster en Formación del Profesorado>>

Hola a todos los curiosos del dibujo en general y del dibujo técnico en particular!! Os traigo una nueva entrada en la que vamos a hablar sobre el ARCO CAPAZ. Estamos realizando un Libro de Geometría y es la parte que me ha tocado analizar, y quería compartirla con vosotros y que me diéseis vuestras opiniones para poder mejorar. Así que, ahí vamos!

Definición de Arco Capaz

El arco capaz es el Lugar Geométrico de los puntos del plano desde los cuales se ven los extremos de un segmento desde un mismo ángulo. El lugar geométrico de todos los puntos, desde los cuales se ve el segmento AB, bajo un mismo ángulo.

El más utilizado es el arco capaz con ángulo λ = 90º. Este caso se corresponde con el 2º Teorema de Thales, de tal modo que el arco capaz es la circunferencia cuyo diámetro es el segmento AB.

Trazado del Arco Capaz

Si pensamos en cómo construir un arco capaz, tenemos que tener claros varios conceptos: mediatriz, tangente y ángulos; ya que con los conceptos sobre los que se construye el arco capaz. Si tenéis dudas sobre alguno de estos términos os recomiendo que echéis la vista atrás al libro y repaséis.

Partimos de un segmento dado AB en el que construiremos nuestro arco capaz. Precisamente, como lo que vamos a hacer es un arco, es decir, una circunferencia que pase por esos dos puntos, será necesario hacer su mediatriz.

A continuación, elegiremos aleatoriamente un centro de circunferencia (Cc) que se encuentre en la mediatriz, y dibujaremos su circunferencia. Con ello, desde el punto A del segmento, tendremos que hallar la recta tangente a la circunferencia que hemos obtenido anteriormente, la cual nos dará el ángulo que se formará en el arco capaz.

((Pensamiento))

¿Por qué no hemos elegido antes el ángulo? Es una pregunta razonable que yo misma me hice, pero quiero que entendáis primeramente la idea global, en la que sea cual sea el ángulo el proceso será el mismo.

Por tanto, si volvemos al último paso que habíamos realizado, vemos que el ángulo alfa se forma tanto entre el segmento y la tangente, como en el arco capaz. También observamos que el ángulo formado bajo el centro de la circunferencia será el doble de alfa, el del arco capaz.

Podemos ver también en la parte de la circunferencia que queda en la parte inferior del segmento, que el ángulo que se forma no es el mismo que en la parte superior. Esto se debe a que ese ángulo resultante es el suplementario del ángulo alfa. Por tanto, en la parte inferior podremos obtener ángulos mayores de 90 grados.

Para que entendáis más en profundidad todo este procedimiento os dejamos un archivo de Geogebra con el que podéis mover tanto el centro de la circunferencia (Cc) como los puntos elegidos en ella (P y Q). ¿Qué observáis? ¿Se mantienen todas las igualdades que hemos explicado anteriormente?

Soluciones simétricas

Existen dos soluciones simétricas. Para encontrar la segunda, dibuja sencillamente un arco con centro en M y radio M-O que cortará a la mediatriz m en el punto O’.

Fotografía obtenida de 10endibujo.com

Arco capaz de los ángulos más comunes

Fotografía obtenida de 10endibujo.com

El arco capaz de los ángulos más comunes para un mismo segmento: 30º, 45º, 60º, 75º y 90º. Date cuenta de que el radio de los arcos es menor cuanto mayor es el ángulo del Arco Capaz.

Aplicaciones del arco capaz
Conocer las propiedades del arco capaz es muy útil en dibujo para resolver problemas geométricos relacionados con ángulos de triángulos.
Es muy típico el ejercicio de triángulos en el que se nos da el valor del ángulo del vértice opuesto a uno de los lados, o bien, podemos deducir del enunciado uno de los valores angulares de forma que necesitemos aplicar el concepto de ARCO CAPAZ.

Os recomiendo que visitéis el enlace de Mongge para comprobar la ejecución de un ejercicio sobre triángulos

También podemos encontrar el uso del arco capaz en ejercicios de construcción de paralelogramos.

Ejemplo: Dibujar un paralelogramo del que se conoce el lado AB=50 mm, el ángulo de las diagonales, correspondiente a ese lado, de 130º, y el punto P, proyección del centro O sobre AB, siendo AP=35 mm.

Ejercicio propuesto
Como se suele decir, no sirve de nada memorizar procesos si nos los entendemos, pero sobre todo si nos lo ponemos en práctica! Por eso, os propongo un ejercicio donde veréis el uso del arco capaz en ejercicios básicos de niveles de bachiller. Los que no hayáis llegado a este nivel, no os preocupéis, os invito a conocer un concepto nuevo: la afinidad. 

Enunciado: Dados dos punto A y B de un triángulo, y O baricentro de éste, construir su triángulo afín sabiendo que el ángulo de C’ forma 90º (triángulo afín rectángulo).

Datos: eje de afinidad, dirección de afinidad, punto A, punto B, punto O (baricentro).


Os dejaré tiempo para que penséis en qué momento del ejercicio utilizaríais el arco capaz, y dentro de unos días compartiré la solución del ejercicio con vosotros.




Espero que os haya gustado esta entrada con la explicación teórica sobre el arco capaz. Si os surgen dudas de algún tipo no dudéis en dejar comentarios en el blog. 

Un saludo, y no dejéis de dibujar!!

La mediatriz (parte III)

<Solución práctica>

Hola a todos los curiosos del dibujo en general y del dibujo técnico en particular!

En la entrada anterior os propuse un ejercicio que me gustaría recordar.

Enunciado: Dada una recta cualquiera, dibujar una circunferencia que pase por los puntos A y B dados, y sea tangente a esta recta r por el punto T dado. 

Como podéis imaginar, si necesitamos encontrar un lugar geométrico en el que los puntos equidisten de los puntos A y B, es ahí donde desarrollaremos la idea de MEDIATRIZ.

Por tanto, el primer paso a seguir es hacer la mediatriz del segmento AB (si no recordáis este proceso, os invito a volver a la entrada antigua del blog La mediatriz (parte 1)).

A continuación nos ayudaremos de una circunferencia auxiliar, la cual pase por los puntos dados A y B. ¿Dónde dispondremos ésta? Claramente, su centro estará en dicha mediatriz, con radio cualquiera. 

Con el punto de corte de la recta r y la prolongación del segmento AB (P), hallaremos las tangentes a la circunferencia auxiliar desde dicho punto P (T' y T''). Para poder hallar las tangentes en la recta r utilizaremos el método llamado potencia. Por ello, sabemos las distancias PT' y PT'' son las mismas, y por consiguiente esa medida será la del radio de la circunferencia con la que obtendremos las tangentes en la recta r (T1 y T2). 

Finalmente, una vez hallados los puntos de tangencia, no nos quedará más que dibujar las perpendiculares a la recta r por T1 y T2, hasta que corten con la MEDIATRIZ del segmento AB. Estos puntos de corte serán los centros de las circunferencias resultado O1 y O2.

Como podemos observar, ambas circunferencias pasan por los puntos AB ya que sus centros se encuentran en la mediatriz de dicho segmento. Vemos así otra de las grandes utilidades de esta herramienta, como poder encontrar centros de circunferencias con cuerdas de ellas.



Como complemento a las fotografías del procedimiento del ejercicio, os adjunto el archivo dinámico del Geogebra para que, como anteriormente, podáis modificar a vuestro antojo los puntos "libres" y veáis las posibles soluciones que ofrece éste.

Hasta aquí cerramos un capítulo de tres entradas sobre la MEDIATRIZ. Pero esto sólo es un punto y a parte, ya que más adelante seguiremos indagando e investigando sobre este elemento esencial en el mundo de la geometría.

Insisto en invitaros a compartir vuestras dudas o sugerencias, las cuales atenderé lo más rápido posible.


Un saludo, y no dejéis de dibujar!!

La mediatriz (parte II)

<Propuestas prácticas>

Hola a todos los curiosos del dibujo en general y del dibujo técnico en particular!

En la entrada anterior hemos analizado el concepto teórico de la MEDIATRIZ. Seguramente hayan surgido dudas sobre el método en sí, por eso quiero proponer esta entrada como una ayuda extra para poder comprender al 100% esta idea gráfica. 

Por lo tanto, nos vamos a alejar de tanta teoría y adentrarnos en el mundo práctico, que seguro que lo cogéis con más ganas!!

En primer lugar os propongo una práctica en la que no vais a utilizar el ordenador. Coged un papel y en él marcad dos puntos A y B, y el segmento que los une. 

Seguidamente, doblad la hoja colocando el punto A sobre el punto B macando la línea que resulta de doblarlo. Comprobad con una cuerda las distancias entre los puntos A y B y algunos puntos de la línea.¿Qué características comparten todos los puntos de esta línea respecto a A  B? ¿Se puede asociar a la idea de MEDIATRIZ?

 Si os tomáis un tiempo para reflexionar los resultados que os van saliendo, llegareis a la conclusión de que los puntos de esa línea que se forma al doblar el papel tienen la misma distancia tanto desde el punto A como del punto B. Por lo tanto, podemos decir que la recta que se forma es la MEDIATRIZ. Precisamente, con esta actividad hemos reproducido este concepto, y lo hemos demostrado de forma práctica.

Quiero proponeros otro enunciado práctico, el cual desarrollaremos en la próxima entrada del blog. Os dejo libertad para desarrollarlo a mano o con la herramienta de Geogebra, pero os mostraré el resultado de la práctica de forma virtual ya que creo que os aportará más información, aunque os recomiendo intentarlo también a mano!

Enunciado: Dada una recta cualquiera, dibujar una circunferencia que pase por los puntos A y B dados, y sea tangente a esta recta r. 

Este ejercicio es un anexo tanto de la anterior entrada del blog (la mediatriz) como de otra de las entradas anteriores en la que propuse un ejercicio de tangencias. Espero que profundicéis y que lo intentéis, que es lo más importante!!

Un saludo, y no dejéis de dibujar!!

La mediatriz (parte I)

<Conceptos teóricos>

Hola a todos los curiosos del dibujo en general y del dibujo técnico en particular!

En esta entrada quiero indagar sobre un elemento geométrico muy presente en la mayoría de ejercicios de dibujo: LA MEDIATRIZ. En esta primera entrada referente a este tema abordaremos toda la “teoría”, es decir, los conceptos generales de ello. ¡No os asustéis! Parece un poco aburrido, pero es esencial que leáis este apartado ya que en la siguiente entrada del blog propondré actividades con las que practicareis todo lo aprendido en esta entrada. Por lo tanto…al lío!!

La primera pregunta es, ¿qué es la MEDIATRIZ? La mediatriz es uno de los objetos geométricos más importantes en otras construcciones más complejas. Esta importancia proviene de su propiedad principal:

Los puntos de la mediatriz están a igual distancia de los extremos del segmento.

Esta propiedad también se usa a veces como definición, siendo entonces la mediatriz el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de dos puntos fijos.

¿Y cómo dibujamos este método gráfico? Para su construcción, debemos seguir los pasos siguientes:

Sea AB el segmento.

Con el compás, haciendo centro en A, se traza una circunferencia que tenga un radio mayor que la mitad de AB, en un cálculo “al ojo”, ya que precisamente estamos buscando ese punto medio exacto.

Luego, haciendo centro en B, se traza otra circunferencia de igual radio que la primera.

Si ambas circunferencias no se cortan significa que debemos aumentar el radio de ambas.

Cuando ambas se cortan, la recta que une a las dos intersecciones de las circunferencias es la mediatriz del segmento AB.

La intersección de la mediatriz con el segmento AB es el punto medio M.

Para practicar estos pasos podéis utilizar el programa Geogebra o directamente intentar este procedimiento a mano (ambos son muy recomendables).

Yo he realizado mi prueba informáticamente, por lo que os presento este mismo esquema de la mediatriz pero con un objeto dinámico de Geogebra para que comprobéis si de verdad se cumple esta definición.

Una vez analizado el procedimiento y la figura general, os muestro un resumen general de las Propiedades de la mediatriz:

• Las distancias AO y BO son iguales.

• Toda circunferencia con centro en un punto de la mediatriz que pase por uno de los extremos del segmento pasará también por el otro.

• A y B son simétricos con respecto a la mediatriz.

A continuación, os invito a pensar un momento en las posibles aplicaciones de este método en los diferentes ejercicios que se os plantean en el dibujo técnico. Aun así, esta idea de mediatriz se puede trasladar a entornos cotidianos u otras aplicaciones ya sean arquitectura, diseño, etc.

En la próxima entrada del blog analizaremos estas ideas aquí expuestas pero de una manera práctica y de forma progresiva, para que quede totalmente claro el concepto de MEDIATRIZ.

Un saludo, y no dejéis de dibujar!!

Practicando con Geogebra_Tangencias

<Circunferencia tangente a dos rectas por T>

Hola a todos los curiosos del dibujo en general y del dibujo técnico en particular! 
Vuelvo con otra prácticas con Geogebra calentita, recién salida del ordenador.

En este caso os voy a mostrar un ejercicio donde he utilizado la posibilidad de variación de esta herramienta con la que podáis ver todas las posibles soluciones que este tipo de ejercicio tiene.

Enunciado: Dibujar una circunferencia tangente a dos rectas, dado un punto de tangencia en una de ellas (T).

Como primer punto importante, recordar que tenemos que encontrar una circunferencia que sea tangente a dos circunferencias a la vez, por lo que sabemos que su centro se encontrará en la BISECTRIZ del ángulo entre ambas. Os podéis preguntar el por qué: necesitamos un lugar geométrico en el que los puntos equidisten de ambas rectas con el mismo valor. 

Por otro lado, dado un punto de tangencia (T) de una de las rectas, recordamos que el radio de la circunferencia resultado será PERPENDICULAR a la recta con la cual forma la tangencia.

Con estos dos recordatorios (que en otras entradas explicaremos más detenidamente) ponemos proceder a ver las posibles soluciones del ejercicio.

En este cuadro de Geogebra tenéis dos parámetros que podéis modificar con "cierta libertad": uno es el ángulo entre las rectas, y otro es el punto de tangencia dado por el enunciado (T).


Espero que os sirva para investigar y practicar ciertos términos que se trabajan aquí (bisectriz, perpendicularidad, tangencia...). Más adelante analizaré más detenidamente todos estos términos por si han surgido dudas en este procedimiento. 
No dudéis en dejarme sugerencias o dudas que tengáis sobre esta y otras entradas, y no dudaré en proporcionares soluciones a ellas.

Un saludo, y no dejéis de dibujar!!

Teorema de Thales (a moverse!)

Hola a todos los curiosos del dibujo en general y del dibujo técnico en particular! 

En referencia a la primera entrada del blog, sobre el Teorema de Thales, os dejamos en esta nueva entrada un recurso dinámico desde el programa Geogebra con el mismo ejercicio propuesto en la entrada anterior. 
Esperamos que os sirva de ayuda para entender bien el procedimiento que utilizamos.

Recordamos el enunciado: Trazar un triángulo de perímetro p=35 cm teniendo sus lados una proporción a, b, c= 2, 4, 5.

Como podéis observar manejando el enlace, los elementos estáticos son los datos dados por el ejercicio: las proporciones de los lados a=2, b=4 y c=5 (elementos clave en el Teorema de Thales). 
Todos los demás elementos son los que varían, todo dependiendo de la posición del punto P.

Seguiremos buscando nueva herramientas de trabajo que ayuden a explicar de manera más clara todos los ejercicios que propongamos. 

Un saludo, y no dejéis de dibujar!!

EL TEOREMA DE THALES (con práctica)

<Ejercicio para entender el uso del teorema>

Hola a todos los curiosos del dibujo en general y del dibujo técnico en particular! Abro mi primer post de este blog con una actividad propuesta en el aula de Bases conceptuales de la Representación Gráfica. 

En esta entrada nos vamos a centrar en el Teorema de Thales, una de las piezas fundamentales si hablamos de la PROPORCIÓN. Antes de explicarlo con un ejercicio, haremos una introducción teórica de este:

Teorema de Thales: "Si cortamos dos rectas cualesquiera por varias rectas paralelas, los segmentos correspondientes en ambas son proporcionales, es decir, se corresponden en igualdad, en la suma y en la resta."

m/n = m’/n’ 

   

m/n = (m+m’)/(n+n’) 

  

n/p = (n+n’)/p’

Fuente: Intef (Ministerio de Educación, Cultura y Deporte) http://recursostic.educacion.es/artes/plastic/web/cms/index.php?id=3664

A continuación, proponemos un ejercicio práctico para entender este teorema.

Enunciado: Trazar un triángulo de perímetro p=35 cm teniendo sus lados una proporción a, b, c= 2, 4, 5.

Comenzaremos el ejercicio dibujando dos rectas cualesquiera unidas por un punto cualquiera O. Con estas rectas podremos realizar la relación de proporcionalidad o Teorema de Thales.

En una recta colocaremos las medidas de las proporciones dadas por el enunciado (a=2, b=4, c=5). Estas medidas se mantendrán sea cual sea el perímetro del triángulo, serán MEDIDAS FIJAS. En la otra recta ponemos la medida del perímetro, con la que conseguiremos construir el triángulo que nos piden en el enunciado.

Como veíamos en la explicación teórica del Teorema de Thales, para conseguir la proporcionalidad ahora tenemos que relacionar ambas rectas con otras paralelas. La dirección nos la dará la recta que une los últimos puntos de cada segmento, el del perímetro (P) y el de la última proporción (I3). Una vez que sabemos esta dirección, hacemos pasar paralelas por los otros puntos dados por las proporciones (I1 e I2), para conseguir “llevar” esta proporción al perímetro.

Una vez realizado este paso, ya hemos conseguido las medidas necesarias para construir nuestro triángulo proporcionado. Podemos dibujarlo ahí mismo, sin necesidad de desplazarnos del papel. Sólo tenemos que unir los lados a y c en torno al lado b. Esto lo conseguiremos realizando sendas circunferencias con radio ambos lados, las cuales nos darán el punto de corte (G) con el que hallaremos dicho triángulo.

Si analizamos razonadamente el ejercicio, podemos comprobar que se puede extrapolar el resultado de este triángulo sea cual sea el perímetro, ya que el Teorema de Thales no entiende de medidas sino de PROPORCIONES. El paralelismo de las rectas que unen ambas medidas (cualesquiera) son las que otorgan esta proporción.

Espero que os haya sido de gran ayuda este ejercicio explicativo de la utilización del Teorema de Thales. Cualquier duda o sugerencia no dudéis en escribir a continuación.

Un saludo, y no dejéis de dibujar!!