El Arco Capaz_Resolución del Ejercicio Propuesto

<<Libro de Geometría para el Máster en Formación del Profesorado>>

Hola a todos los curiosos del dibujo en general y del dibujo técnico en particular!!

Volvemos con la continuación de la entrada anterior sobre el ARCO CAPAZ. Si recodáis, os propuse un ejercicio sobre afinidad donde se utiliza el arco capaz, para alejarnos de los típicos ejercicios de triángulos que seguro que ya controláis.

Enunciado: Dados dos punto A y B de un triángulo, y O baricentro de éste, construir su triángulo afín sabiendo que el ángulo de C’ forma 90º (triángulo afín rectángulo).

Datos: eje de afinidad, dirección de afinidad, punto A, punto B, punto O (baricentro).

Como vemos, se nos plantea un ejercicio de AFINIDAD, y aunque más adelante nos referiremos exclusivamente en este concepto, os adelanto características sobre ello: necesitamos un eje de afinidad y una dirección de afinidad. El eje lo forman puntos dobles, es decir, que los puntos son tanto reales como afines al mismo tiempo. 

Con esta breve introducción podemos empezar a resolver el ejercicio. En primero lugar vamos a intentar construir el triángulo ABC con los datos que tenemos. ¿Podemos? Quizá con el baricentro...Podeís reflexionarlo un momento. ¿Qué es el Baricentro? ¿Cómo se relaciona con los lados del triángulo?

Si haceis memoria...1/3-2/3. El segmento donde se encuentra el baricentro es la MEDIANA, en la cual tenemos que la medida OM es 1/3 de toda la mediana, por lo que si queremos saber la posición de C sólo tendremos que trasladar esta medida dos veces hacia arriba.

En el extremos encontraremos el punto C del triángulo, por lo que ya tenemos el triángulo ABC completo.

A continuación tenemos que plantear cómo podemos conseguir que el triángulo afín tenga el ángulo C' de 90º. Como hemos dicho anteriormente, el eje está formado por puntos dobles, por tanto si prolongamos las rectas AC y BC, obtendremos puntos dobles de esas rectas, por lo que las rectas afines A'C' y B'C' pasarán por esos punto I1 e I2.

Si el ángulo C' tiene que ser recto (90º), ese ángulo se encuentra bajo el segmento A'B', por lo que también se encontrará bajo el segmento I1I2. Aquí será donde podremos dibujar nuestro ARCO CAPAZ de 90º.

¿Y en qué parte del arco capaz se encuentra exactamente el punto C'? Necesitaremos dibujar una recta PARALELA a la DIRECCIÓN de afinidad dada.

Con esto podemos dibujar las rectas afines CI1 y C'I1, CI2 y C'I2. Comprobamos así que el ángulo C' que obtenemos es recto (90º)

Para acabar el ejercicio sólo nos quedará posicionar los puntos afines A' y B', los cuales estarán en la intersección de las rectas afines con las rectas paralelas a la dirección de afinidad desde el punto A y B.

Por tanto, ya tenemos el ejercicio resuelto: triángulo rectángulo afín A'B'C' del triángulo ABC.

Espero que hayáis entendido todo el proceso, y para que analicéis las partes de éste os dejo el ejercicio resuelto en Geogebra con el que podréis modificar la posición de los puntos A y B y veréis cómo cambia la respuesta.

Con esto me despido, y ya sabéis, cualquier duda o sugerencia no dudéis en dejarme un comentario. 

Un saludo, y no dejéis de dibujar!!

El Arco Capaz_Teoría

<<Libro de Geometría para el Máster en Formación del Profesorado>>

Hola a todos los curiosos del dibujo en general y del dibujo técnico en particular!! Os traigo una nueva entrada en la que vamos a hablar sobre el ARCO CAPAZ. Estamos realizando un Libro de Geometría y es la parte que me ha tocado analizar, y quería compartirla con vosotros y que me diéseis vuestras opiniones para poder mejorar. Así que, ahí vamos!

Definición de Arco Capaz

El arco capaz es el Lugar Geométrico de los puntos del plano desde los cuales se ven los extremos de un segmento desde un mismo ángulo. El lugar geométrico de todos los puntos, desde los cuales se ve el segmento AB, bajo un mismo ángulo.

El más utilizado es el arco capaz con ángulo λ = 90º. Este caso se corresponde con el 2º Teorema de Thales, de tal modo que el arco capaz es la circunferencia cuyo diámetro es el segmento AB.

Trazado del Arco Capaz

Si pensamos en cómo construir un arco capaz, tenemos que tener claros varios conceptos: mediatriz, tangente y ángulos; ya que con los conceptos sobre los que se construye el arco capaz. Si tenéis dudas sobre alguno de estos términos os recomiendo que echéis la vista atrás al libro y repaséis.

Partimos de un segmento dado AB en el que construiremos nuestro arco capaz. Precisamente, como lo que vamos a hacer es un arco, es decir, una circunferencia que pase por esos dos puntos, será necesario hacer su mediatriz.

A continuación, elegiremos aleatoriamente un centro de circunferencia (Cc) que se encuentre en la mediatriz, y dibujaremos su circunferencia. Con ello, desde el punto A del segmento, tendremos que hallar la recta tangente a la circunferencia que hemos obtenido anteriormente, la cual nos dará el ángulo que se formará en el arco capaz.

((Pensamiento))

¿Por qué no hemos elegido antes el ángulo? Es una pregunta razonable que yo misma me hice, pero quiero que entendáis primeramente la idea global, en la que sea cual sea el ángulo el proceso será el mismo.

Por tanto, si volvemos al último paso que habíamos realizado, vemos que el ángulo alfa se forma tanto entre el segmento y la tangente, como en el arco capaz. También observamos que el ángulo formado bajo el centro de la circunferencia será el doble de alfa, el del arco capaz.

Podemos ver también en la parte de la circunferencia que queda en la parte inferior del segmento, que el ángulo que se forma no es el mismo que en la parte superior. Esto se debe a que ese ángulo resultante es el suplementario del ángulo alfa. Por tanto, en la parte inferior podremos obtener ángulos mayores de 90 grados.

Para que entendáis más en profundidad todo este procedimiento os dejamos un archivo de Geogebra con el que podéis mover tanto el centro de la circunferencia (Cc) como los puntos elegidos en ella (P y Q). ¿Qué observáis? ¿Se mantienen todas las igualdades que hemos explicado anteriormente?

Soluciones simétricas

Existen dos soluciones simétricas. Para encontrar la segunda, dibuja sencillamente un arco con centro en M y radio M-O que cortará a la mediatriz m en el punto O’.

Fotografía obtenida de 10endibujo.com

Arco capaz de los ángulos más comunes

Fotografía obtenida de 10endibujo.com

El arco capaz de los ángulos más comunes para un mismo segmento: 30º, 45º, 60º, 75º y 90º. Date cuenta de que el radio de los arcos es menor cuanto mayor es el ángulo del Arco Capaz.

Aplicaciones del arco capaz
Conocer las propiedades del arco capaz es muy útil en dibujo para resolver problemas geométricos relacionados con ángulos de triángulos.
Es muy típico el ejercicio de triángulos en el que se nos da el valor del ángulo del vértice opuesto a uno de los lados, o bien, podemos deducir del enunciado uno de los valores angulares de forma que necesitemos aplicar el concepto de ARCO CAPAZ.

Os recomiendo que visitéis el enlace de Mongge para comprobar la ejecución de un ejercicio sobre triángulos

También podemos encontrar el uso del arco capaz en ejercicios de construcción de paralelogramos.

Ejemplo: Dibujar un paralelogramo del que se conoce el lado AB=50 mm, el ángulo de las diagonales, correspondiente a ese lado, de 130º, y el punto P, proyección del centro O sobre AB, siendo AP=35 mm.

Ejercicio propuesto
Como se suele decir, no sirve de nada memorizar procesos si nos los entendemos, pero sobre todo si nos lo ponemos en práctica! Por eso, os propongo un ejercicio donde veréis el uso del arco capaz en ejercicios básicos de niveles de bachiller. Los que no hayáis llegado a este nivel, no os preocupéis, os invito a conocer un concepto nuevo: la afinidad. 

Enunciado: Dados dos punto A y B de un triángulo, y O baricentro de éste, construir su triángulo afín sabiendo que el ángulo de C’ forma 90º (triángulo afín rectángulo).

Datos: eje de afinidad, dirección de afinidad, punto A, punto B, punto O (baricentro).


Os dejaré tiempo para que penséis en qué momento del ejercicio utilizaríais el arco capaz, y dentro de unos días compartiré la solución del ejercicio con vosotros.




Espero que os haya gustado esta entrada con la explicación teórica sobre el arco capaz. Si os surgen dudas de algún tipo no dudéis en dejar comentarios en el blog. 

Un saludo, y no dejéis de dibujar!!