Ángulo entre planos que se cortan_Ejercicio y debate (parte 01)

<<Ejercicio como debate sobre el uso de la línea de tierra: necesaria o prescindible>>

Hola a todos los curiosos del dibujo en general y del dibujo técnico en particular!!

Ahora mismo estamos inmersos en las entregas finales del Máster en Formación del Profesorado, junto con Memorias de las Prácticas y el temido TFM! Pero uno de los trabajos finales de la asignatura “Dibujo asistido por ordenador” me ha dado la idea para la siguiente entrada del blog. Espero que os parezca interesante!!

En primer lugar, os voy a contar un poco el contexto en el que se encuentra el ejercicio propuesto. En esta asignatura nos propusieron construir una pieza en 3D con un programa informático (en mi caso Rhinoceros), a partir de la cual pudiésemos obtener diferentes ejercicios geométricos, entre los que se encuentra un ejercicio del SISTEMA DIÉDRICO.

Como comprobareis en la imagen que viene a continuación, el ejercicio propuesto a través de la pieza es el siguiente:

"Ángulo entre dos planos que se cortan"

Para resolver este ejercicio, si observáis el esquema en la parte superior, será necesario obtener dos rectas perpendiculares a ambos planos que se corten en un punto cualquiera P. Por igualdad de ángulos, el ángulo que forman las rectas será el mismo que formen los planos. Observamos que hay dos posibles ángulos entre planos, uno menor de 90° y otro mayor de 90°. Según el ángulo que obtengamos entre las rectas se referirá a uno u a otro.

Al querer realizar este ejercicio, me surgió el debate de si hacerlo CON o SIN línea de tierra. Para analizar si debe ser necesaria para realizar ejercicios en diédrico, o si es prescindible, voy a resolverlo de ambas formas. Así, analizaré de qué manera es más intuitivo o más fácil.

- SIN línea de tierra.

En primer lugar, centrándome en el método genérico, realizaré el ejercicio sin línea de tierra. Como comentaba anteriormente, para resolver este ejercicio necesitamos de cada plano una recta perpendicular que pase por un punto cualquiera M.

Enunciado del ejercicio

Al no tener línea de tierra, necesitamos situar tanto una recta horizontal como una frontal de cada plano, con las cuales podremos encontrar esas rectas perpendiculares que estamos buscando.

Como vemos en la imagen superior, hemos obtenido los siguientes elementos:

- Del plano ABCD: la recta horizontal h1 (roja) y la recta frontal f1 (azul).

- Del plano CDEF: la recta horizontal h2 (roja) y la recta frontal f2 (azul).

A partir de estas rectas construiremos las que son perpendiculares. Para ello, debemos situar un punto cualquiera (M) del espacio, por donde van a pasar ambas perpendiculares.

Para construir las perpendiculares, gracias tanto a la recta horizontal como a la frontal de cada plano, tenemos las direcciones de éste. Por ello, la recta perpendicular al plano será la que tenga sus proyecciones perpendiculares tanto a la proyección vertical de la recta horizontal (h1 y h2) como a la proyección horizontal de la recta frontal (f1’ y f2’).

Así, obtenemos t1 (verde) del plano ABCD y t2 (verde) del plano CDEF. Ahora nos tenemos que “olvidar” de lo anterior y centrarnos únicamente en estas rectas, ya que lo que necesitamos averiguar es el ángulo que hay entre ellas.

Para poder ver el ángulo en VERDADERA MAGNITUD, tenemos que hacer un ABATIMIENTO, el cual realizaremos apoyándonos en una recta horizontal h3 (azul oscura) que corte a ambas rectas t1 y t2.

Gracias a la recta h3, que actuará de “eje de abatimiento”, podemos realizar el abatimiento del punto M. Para ello, debemos tomar la “cota” de M desde la recta h3 y colocarla desde la proyección horizontal de M en paralelo a la proyección horizontal de h3.

Al colocar la cota en la proyección horizontal, obtenemos el radio de abatimiento de ese punto. Por lo que, con la circunferencia de radio Mh3 y centro M y una perpendicular desde M al “eje de abatimiento” (h3), obtendremos M0.

A su vez, si os fijáis en la imagen superior, hay dos puntos donde cortan las rectas t1 y t2 con el “eje de abatimiento” (h3), señalados por un punto negro. Esos puntos, al estar en el eje, son puntos dobles, es decir, el punto y su abatido corresponden. Por tanto, si unimos cada uno de esos puntos con el punto M0 obtendremos las rectas t1 y t2 abatidas.

En mi caso, el ángulo que he seleccionado como ángulo entre rectas y, por tanto, ángulo entre los planos ABCD y CDEF es el menor de 90°.

Os inserto el en lace al archivo de Geogebra donde podéis ver el protocolo de construcción del ejercicio. No he podido incrustarlo en el blog como de costumbre porque es un archivo muy largo.

Ángulo entre planos que se cortan_Geogebra


En la siguiente entrada del blog explicaremos cómo desarrollar este ejercicio CON línea de tierra, y así poder analizar las diferencias entre una ejecución y otra.

Un saludo, y no dejéis de dibujar!!