Inversión_Resolviendo

<<Actividad propuesta para la asignatura de Bases en el Máster en Formación del Profesorado>>

Hola a todos los curiosos del dibujo en general y del dibujo técnico en particular!! 
Ya estamos de vuelta para resolver el ejercicio propuesto en el anterior post! Espero que pudieséis resolverlo con ayuda de los apuntes de inversión.

Volvemos a recordar el enunciado y los datos:
- Realizar la inversión de la figura ABCD con respecto al centro de inversión y la razón de inversión dados. (datos en negro y rojo)

Como podéis comprobar, la mejor opción sería comenzar el ejercicio simplificándolo en alguno de los casos que hemos estudiando anteriormente, es decir, en lugar de tener segmentos y semicircunferencias, dibujaremos las RECTAS y las CIRCUNFERENCIAS que forman la figura para tener elementos que podamos controlar.

Tendríamos entonces los siguientes elementos:
- recta DA que pasa por el centro de inversión O
- recta AB (s)
- circunferencia (c) que pasa por los puntos B y C
- recta CD (r)
Vamos a resolverlo en este orden, así que podéis imaginar que vamos a tener cuatro ejercicios diferentes, los cuales iremos enlazando.

En primer lugar tenemos la INVERSIÓN DE UNA RECTA CON O EN ELLA. Si recordáis, nos tenemos que "apoyar" en la cpd a través de la potencia. Así, encontramos tanto A' como D' ya que la inversa de la recta es ella misma.

El siguiente elemento sería el segmento AB que se encuentra en la recta s, por lo que estamos en la INVERSIÓN DE UNA RECTA CON O FUERA DE ELLA. La inversa será, por tanto, una circunferencia que pasa por O.
Lo primero que vemos es que la recta corta con la cpd, por lo que ta tenemos dos puntos de la circunferencia. Junto con el otro punto inverso A' podemos construir la circunferencia s' y encontrar B'

 El siguiente punto que hay que invertir es el punto C, por tanto el caso sería INVERSIÓN DE UNA CIRCUNFERENCIA CON O FUERA DE ELLA. En este caso vamos a utilizar varias características de este caso:
- el centro de la circunferencia inversa estará en la recta OCentro
- al tener el punto A y A' ya inverso, podemos utilizarlos de "base" de la inversión, por lo que nos olvidaríamos de la circunferencia que pasa por B y C y pensaríamos en C como en un punto cualquiera.Creamos pues la circunferencia que pasa por A, A' y C, y obtendríamos C'
- para obtener el centro de la circunferencia lo podremos hacer con homología o con el método explicado en el anterior post

 El último ejercicio es una repetición de otro anterior: INVERSIÓN DE UNA RECTA CON O FUERA DE ELLA.
en este caso la circunferencia va a pasar por los puntos O, D', C' y los puntos dobles de la cpd GG' y HH'.

Hasta aquí el ejercicio sobre inversión. El resultado final, no solo de la figura sino también de los elementos que la componen sería el siguiente:

Os adjunto el archivo de Geogebra para que podáis jugar con los elementos y ver las diferentes posiciones.

Un saludo, y no dejéis de dibujar!!

Inversión_Las básicas

<<Actividad propuesta para la asignatura de Bases en el Máster en Formación del Profesorado>>

Hola a todos los curiosos del dibujo en general y del dibujo técnico en particular!! Después de un parón (obligado) para centrarme en actividades del Máster, vuelvo con ganas aunque con poco tiempo!!

En relación a lo visto en el post anterior, ahora vamos a analizar los casos de INVERSIÓN y la relación con los elementos que expusimos anteriormente. Pero, antes de empezar me surge una duda… ¿para qué analizar estos ejercicios si en Geogebra existe un botón que lo elabora automáticamente? Espero que me contestéis vosotros mismos :)

INVERSIÓN DE UNA RECTA r

Para comenzar, intentaremos analizar las inversiones de una recta según la posición del centro de inversión (O):

1. Inversión de una recta r con O en r

En este caso podemos comprobar en el archivo de Geogebra que la inversa de r será ella misma r’, pero hay que destacar que los únicos puntos dobles son los coincidentes con la cpd (CC’ y DD’).

2. Inversión de una recta r con O fuera de r

Como vemos en el archivo de Geogebra, los elementos de inversión que nos dan son el centro de inversión (O) y la circunferencia de puntos dobles (cpd), que se darán en todos los ejercicios que propongamos. En este caso, el centro de inversión se encuentra fuera de la recta, por lo que su inversa será una circunferencia que pasa por O. Lo podemos “dmeostrar” con el siguiente razonamiento:

- Sabemos que el ángulo ∠OAB siempre va a ser 90 grados, por tanto el ángulo ∠OB’A’ será también 90 grados (ángulos en naranja) por proporción de triángulos. Por tanto, B’ se encontrara en el arco capaz de 90 para OA’. Como la recta r se forma por todas las posiciones posibles de B (moverlo en Geogebra!), su inversa será la circunferencia de diametro OA’.

Presento también la opción de si la cpd corta a la recta r. en este caso ya tendríamos dos PUNTOS DOBLES por los que va a pasar la inversa r’ (circunferencia). Os invito a jugar con ambos archivos y mováis la posición de la recta y veáis los diferentes resultados.

INVERSIÓN DE UNA CIRCUNFERENCIA c

La inversión de una circunferencia varía según la posición del centro de inversión (O), por lo que tenemos que analizar los dos posibles casos.

3. Inversión de una circunferencia c con O en c

Este caso está relacionado con el caso anterior, ya que es el “caso contrario” como podéis imaginar, por tanto, queda claro que la inversa de la circunferencia será UNA RECTA. Esto se debe a que la inversión es INVOLUTIVA. La característica principal de esta recta es que será perpendicular a la recta OA (siendo A el centro de la circunferencia).

Si la cpd cortase a la circunferencia, volveríamos a tener dos puntos dobles, por lo que directamente ya construiríamos la recta inversión c’. Os muestro ambos archivos de Geogebra para que veáis las diferencias.

4. Inversión de una circunferencia c con O fuera de c

En este tipo de inversión conlleva un concepto muy importante en el dibujo técnico: LA TANGENCIA. Ya sabemos que también tiene mucho que ver con potencia, así que vamos a ver cómo utilizarlo para conseguir la inversión.

Pero, si comenzamos a realizar la inversión de dos puntos de la circunferencia A y B: k= OAxOA’=OBxOB’

La potencia desde O hasta la circunferencia c: p=OAxOB

Si dividimos ambas expresiones llegamos al resultado k/p=OA’/OB=OB’/OA. Este resultado nos lleva a la conclusión de que los puntos A’ y B y los puntos B’ y A son HOMOTÉTICOS en la homotecia de centro 0 y razon k/p.

Os invito a ver el trazado de la inversión en el archivo de Geogebra.

Con esto hemos expuestos todos los casos posibles de inversión, por lo que ya podríamos realizar cualquier tipo de ejercicio que se pueda proponer. Por ello, os propongo el siguiente:

- Realizar la inversión de la figura ABCD con respecto al centro de inversión y la razón de inversión dados. (datos en negro y rojo)

En el próximo post resolveremos este ejercicio, espero vuestras dudas y sugerencias sobre el concepto de inversión.

Un saludo, y no dejéis de dibujar!!

Inversión_Primeros pasos

<<Actividad propuesta para la asignatura de Bases en el Máster en Formación del Profesorado>>

Hola a todos los curiosos del dibujo en general y del dibujo técnico en particular!! Después de un parón (obligado) para centrarme en actividades del Máster, vuelvo con ganas aunque con poco tiempo!!

El tema que vamos a tratar en este post es la INVERSIÓN. A muchos os sonarán cosas relacionadas con esto como tangencias, Apolonio...pero quiero comenzar con lo básico para poder abordar bien un concepto no fácil de entender.

En primer lugar quiero que veáis el esquema principal de inversión positiva, los elementos que intervienen y cómo varías según su posición.

 En una inversión, los elementos principales son: 
- centro de inversión (O)
- circunferencia de puntos dobles (cpd): y sus puntos en una inversión positiva, ya que en una inversión negativa la circunferencia es doble pero no sus puntos.
- puntos inversos: para definir la inversión son necesarios si no nos diesen la razón de inversión OAxOA'=k -> OT=raíz de k
- circunferencia de autoinversión: dos pares de puntos son concíclicos.

Para que podáis ver cómo cambian los resultados según la posición del punto B, os dejo el enlace de Geogebra en movimiento.

 Analizando los pares de puntos tenemos que:

- los ángulos opuestos del cuadrilátero inscrito son COMPLEMENTARIOS.

- las rectas r-s y m-n son ANTIPARALELAS (rectas que se cortan en un punto). Las rectas antiparalelas m y n lo son respecto a r y s.

Creo que con estos primeros conceptos importantes podríamos comenzar a adentrarnos en los tipos de inversión. En el siguiente post explicaremos las situaciones en las que intervendrá la inversión, y propondremos ejercicios para que pongáis en práctica la teoría.

Un saludo, y no dejéis de dibujar!!

El Arco Capaz_Resolución del Ejercicio Propuesto

<<Libro de Geometría para el Máster en Formación del Profesorado>>

Hola a todos los curiosos del dibujo en general y del dibujo técnico en particular!!

Volvemos con la continuación de la entrada anterior sobre el ARCO CAPAZ. Si recodáis, os propuse un ejercicio sobre afinidad donde se utiliza el arco capaz, para alejarnos de los típicos ejercicios de triángulos que seguro que ya controláis.

Enunciado: Dados dos punto A y B de un triángulo, y O baricentro de éste, construir su triángulo afín sabiendo que el ángulo de C’ forma 90º (triángulo afín rectángulo).

Datos: eje de afinidad, dirección de afinidad, punto A, punto B, punto O (baricentro).

Como vemos, se nos plantea un ejercicio de AFINIDAD, y aunque más adelante nos referiremos exclusivamente en este concepto, os adelanto características sobre ello: necesitamos un eje de afinidad y una dirección de afinidad. El eje lo forman puntos dobles, es decir, que los puntos son tanto reales como afines al mismo tiempo. 

Con esta breve introducción podemos empezar a resolver el ejercicio. En primero lugar vamos a intentar construir el triángulo ABC con los datos que tenemos. ¿Podemos? Quizá con el baricentro...Podeís reflexionarlo un momento. ¿Qué es el Baricentro? ¿Cómo se relaciona con los lados del triángulo?

Si haceis memoria...1/3-2/3. El segmento donde se encuentra el baricentro es la MEDIANA, en la cual tenemos que la medida OM es 1/3 de toda la mediana, por lo que si queremos saber la posición de C sólo tendremos que trasladar esta medida dos veces hacia arriba.

En el extremos encontraremos el punto C del triángulo, por lo que ya tenemos el triángulo ABC completo.

A continuación tenemos que plantear cómo podemos conseguir que el triángulo afín tenga el ángulo C' de 90º. Como hemos dicho anteriormente, el eje está formado por puntos dobles, por tanto si prolongamos las rectas AC y BC, obtendremos puntos dobles de esas rectas, por lo que las rectas afines A'C' y B'C' pasarán por esos punto I1 e I2.

Si el ángulo C' tiene que ser recto (90º), ese ángulo se encuentra bajo el segmento A'B', por lo que también se encontrará bajo el segmento I1I2. Aquí será donde podremos dibujar nuestro ARCO CAPAZ de 90º.

¿Y en qué parte del arco capaz se encuentra exactamente el punto C'? Necesitaremos dibujar una recta PARALELA a la DIRECCIÓN de afinidad dada.

Con esto podemos dibujar las rectas afines CI1 y C'I1, CI2 y C'I2. Comprobamos así que el ángulo C' que obtenemos es recto (90º)

Para acabar el ejercicio sólo nos quedará posicionar los puntos afines A' y B', los cuales estarán en la intersección de las rectas afines con las rectas paralelas a la dirección de afinidad desde el punto A y B.

Por tanto, ya tenemos el ejercicio resuelto: triángulo rectángulo afín A'B'C' del triángulo ABC.

Espero que hayáis entendido todo el proceso, y para que analicéis las partes de éste os dejo el ejercicio resuelto en Geogebra con el que podréis modificar la posición de los puntos A y B y veréis cómo cambia la respuesta.

Con esto me despido, y ya sabéis, cualquier duda o sugerencia no dudéis en dejarme un comentario. 

Un saludo, y no dejéis de dibujar!!

El Arco Capaz_Teoría

<<Libro de Geometría para el Máster en Formación del Profesorado>>

Hola a todos los curiosos del dibujo en general y del dibujo técnico en particular!! Os traigo una nueva entrada en la que vamos a hablar sobre el ARCO CAPAZ. Estamos realizando un Libro de Geometría y es la parte que me ha tocado analizar, y quería compartirla con vosotros y que me diéseis vuestras opiniones para poder mejorar. Así que, ahí vamos!

Definición de Arco Capaz

El arco capaz es el Lugar Geométrico de los puntos del plano desde los cuales se ven los extremos de un segmento desde un mismo ángulo. El lugar geométrico de todos los puntos, desde los cuales se ve el segmento AB, bajo un mismo ángulo.

El más utilizado es el arco capaz con ángulo λ = 90º. Este caso se corresponde con el 2º Teorema de Thales, de tal modo que el arco capaz es la circunferencia cuyo diámetro es el segmento AB.

Trazado del Arco Capaz

Si pensamos en cómo construir un arco capaz, tenemos que tener claros varios conceptos: mediatriz, tangente y ángulos; ya que con los conceptos sobre los que se construye el arco capaz. Si tenéis dudas sobre alguno de estos términos os recomiendo que echéis la vista atrás al libro y repaséis.

Partimos de un segmento dado AB en el que construiremos nuestro arco capaz. Precisamente, como lo que vamos a hacer es un arco, es decir, una circunferencia que pase por esos dos puntos, será necesario hacer su mediatriz.

A continuación, elegiremos aleatoriamente un centro de circunferencia (Cc) que se encuentre en la mediatriz, y dibujaremos su circunferencia. Con ello, desde el punto A del segmento, tendremos que hallar la recta tangente a la circunferencia que hemos obtenido anteriormente, la cual nos dará el ángulo que se formará en el arco capaz.

((Pensamiento))

¿Por qué no hemos elegido antes el ángulo? Es una pregunta razonable que yo misma me hice, pero quiero que entendáis primeramente la idea global, en la que sea cual sea el ángulo el proceso será el mismo.

Por tanto, si volvemos al último paso que habíamos realizado, vemos que el ángulo alfa se forma tanto entre el segmento y la tangente, como en el arco capaz. También observamos que el ángulo formado bajo el centro de la circunferencia será el doble de alfa, el del arco capaz.

Podemos ver también en la parte de la circunferencia que queda en la parte inferior del segmento, que el ángulo que se forma no es el mismo que en la parte superior. Esto se debe a que ese ángulo resultante es el suplementario del ángulo alfa. Por tanto, en la parte inferior podremos obtener ángulos mayores de 90 grados.

Para que entendáis más en profundidad todo este procedimiento os dejamos un archivo de Geogebra con el que podéis mover tanto el centro de la circunferencia (Cc) como los puntos elegidos en ella (P y Q). ¿Qué observáis? ¿Se mantienen todas las igualdades que hemos explicado anteriormente?

Soluciones simétricas

Existen dos soluciones simétricas. Para encontrar la segunda, dibuja sencillamente un arco con centro en M y radio M-O que cortará a la mediatriz m en el punto O’.

Fotografía obtenida de 10endibujo.com

Arco capaz de los ángulos más comunes

Fotografía obtenida de 10endibujo.com

El arco capaz de los ángulos más comunes para un mismo segmento: 30º, 45º, 60º, 75º y 90º. Date cuenta de que el radio de los arcos es menor cuanto mayor es el ángulo del Arco Capaz.

Aplicaciones del arco capaz
Conocer las propiedades del arco capaz es muy útil en dibujo para resolver problemas geométricos relacionados con ángulos de triángulos.
Es muy típico el ejercicio de triángulos en el que se nos da el valor del ángulo del vértice opuesto a uno de los lados, o bien, podemos deducir del enunciado uno de los valores angulares de forma que necesitemos aplicar el concepto de ARCO CAPAZ.

Os recomiendo que visitéis el enlace de Mongge para comprobar la ejecución de un ejercicio sobre triángulos

También podemos encontrar el uso del arco capaz en ejercicios de construcción de paralelogramos.

Ejemplo: Dibujar un paralelogramo del que se conoce el lado AB=50 mm, el ángulo de las diagonales, correspondiente a ese lado, de 130º, y el punto P, proyección del centro O sobre AB, siendo AP=35 mm.

Ejercicio propuesto
Como se suele decir, no sirve de nada memorizar procesos si nos los entendemos, pero sobre todo si nos lo ponemos en práctica! Por eso, os propongo un ejercicio donde veréis el uso del arco capaz en ejercicios básicos de niveles de bachiller. Los que no hayáis llegado a este nivel, no os preocupéis, os invito a conocer un concepto nuevo: la afinidad. 

Enunciado: Dados dos punto A y B de un triángulo, y O baricentro de éste, construir su triángulo afín sabiendo que el ángulo de C’ forma 90º (triángulo afín rectángulo).

Datos: eje de afinidad, dirección de afinidad, punto A, punto B, punto O (baricentro).


Os dejaré tiempo para que penséis en qué momento del ejercicio utilizaríais el arco capaz, y dentro de unos días compartiré la solución del ejercicio con vosotros.




Espero que os haya gustado esta entrada con la explicación teórica sobre el arco capaz. Si os surgen dudas de algún tipo no dudéis en dejar comentarios en el blog. 

Un saludo, y no dejéis de dibujar!!

La mediatriz (parte III)

<Solución práctica>

Hola a todos los curiosos del dibujo en general y del dibujo técnico en particular!

En la entrada anterior os propuse un ejercicio que me gustaría recordar.

Enunciado: Dada una recta cualquiera, dibujar una circunferencia que pase por los puntos A y B dados, y sea tangente a esta recta r por el punto T dado. 

Como podéis imaginar, si necesitamos encontrar un lugar geométrico en el que los puntos equidisten de los puntos A y B, es ahí donde desarrollaremos la idea de MEDIATRIZ.

Por tanto, el primer paso a seguir es hacer la mediatriz del segmento AB (si no recordáis este proceso, os invito a volver a la entrada antigua del blog La mediatriz (parte 1)).

A continuación nos ayudaremos de una circunferencia auxiliar, la cual pase por los puntos dados A y B. ¿Dónde dispondremos ésta? Claramente, su centro estará en dicha mediatriz, con radio cualquiera. 

Con el punto de corte de la recta r y la prolongación del segmento AB (P), hallaremos las tangentes a la circunferencia auxiliar desde dicho punto P (T' y T''). Para poder hallar las tangentes en la recta r utilizaremos el método llamado potencia. Por ello, sabemos las distancias PT' y PT'' son las mismas, y por consiguiente esa medida será la del radio de la circunferencia con la que obtendremos las tangentes en la recta r (T1 y T2). 

Finalmente, una vez hallados los puntos de tangencia, no nos quedará más que dibujar las perpendiculares a la recta r por T1 y T2, hasta que corten con la MEDIATRIZ del segmento AB. Estos puntos de corte serán los centros de las circunferencias resultado O1 y O2.

Como podemos observar, ambas circunferencias pasan por los puntos AB ya que sus centros se encuentran en la mediatriz de dicho segmento. Vemos así otra de las grandes utilidades de esta herramienta, como poder encontrar centros de circunferencias con cuerdas de ellas.



Como complemento a las fotografías del procedimiento del ejercicio, os adjunto el archivo dinámico del Geogebra para que, como anteriormente, podáis modificar a vuestro antojo los puntos "libres" y veáis las posibles soluciones que ofrece éste.

Hasta aquí cerramos un capítulo de tres entradas sobre la MEDIATRIZ. Pero esto sólo es un punto y a parte, ya que más adelante seguiremos indagando e investigando sobre este elemento esencial en el mundo de la geometría.

Insisto en invitaros a compartir vuestras dudas o sugerencias, las cuales atenderé lo más rápido posible.


Un saludo, y no dejéis de dibujar!!

La mediatriz (parte II)

<Propuestas prácticas>

Hola a todos los curiosos del dibujo en general y del dibujo técnico en particular!

En la entrada anterior hemos analizado el concepto teórico de la MEDIATRIZ. Seguramente hayan surgido dudas sobre el método en sí, por eso quiero proponer esta entrada como una ayuda extra para poder comprender al 100% esta idea gráfica. 

Por lo tanto, nos vamos a alejar de tanta teoría y adentrarnos en el mundo práctico, que seguro que lo cogéis con más ganas!!

En primer lugar os propongo una práctica en la que no vais a utilizar el ordenador. Coged un papel y en él marcad dos puntos A y B, y el segmento que los une. 

Seguidamente, doblad la hoja colocando el punto A sobre el punto B macando la línea que resulta de doblarlo. Comprobad con una cuerda las distancias entre los puntos A y B y algunos puntos de la línea.¿Qué características comparten todos los puntos de esta línea respecto a A  B? ¿Se puede asociar a la idea de MEDIATRIZ?

 Si os tomáis un tiempo para reflexionar los resultados que os van saliendo, llegareis a la conclusión de que los puntos de esa línea que se forma al doblar el papel tienen la misma distancia tanto desde el punto A como del punto B. Por lo tanto, podemos decir que la recta que se forma es la MEDIATRIZ. Precisamente, con esta actividad hemos reproducido este concepto, y lo hemos demostrado de forma práctica.

Quiero proponeros otro enunciado práctico, el cual desarrollaremos en la próxima entrada del blog. Os dejo libertad para desarrollarlo a mano o con la herramienta de Geogebra, pero os mostraré el resultado de la práctica de forma virtual ya que creo que os aportará más información, aunque os recomiendo intentarlo también a mano!

Enunciado: Dada una recta cualquiera, dibujar una circunferencia que pase por los puntos A y B dados, y sea tangente a esta recta r. 

Este ejercicio es un anexo tanto de la anterior entrada del blog (la mediatriz) como de otra de las entradas anteriores en la que propuse un ejercicio de tangencias. Espero que profundicéis y que lo intentéis, que es lo más importante!!

Un saludo, y no dejéis de dibujar!!