Ángulo entre planos que se cortan_Ejercicio y debate (parte 02)

<<Ejercicio como debate sobre el uso de la línea de tierra: necesaria o prescindible>>

Hola a todos los curiosos del dibujo en general y del dibujo técnico en particular!!

Como os anuncié en el post anterior, en éste continuaremos tanto con el ejercicio de ángulo entre planos que se cortan como con el debate sobre la línea de tierra. Para refrescaros la memoria, os enlazo el post anterior por si queréis visitarlo antes.

Ángulo entre planos que se cortan_Ejercicio y debate (parte 01)

Pues bien, a continuación vamos a realizar mismo ejercicio pero teniendo la línea de tierra.

- CON línea de tierra.

Para comenzar, en el enunciado ya comprobamos las primeras diferencias. Los planos que se cortan vienen representados por sus trazas, a diferencia del ejercicio anterior en el que se representaban por 4 puntos de los planos.

Enunciado del ejercicio.

En primer lugar, vamos a situar un punto cualquiera P en el espacio, fuera de ambos planos, por donde van a pasar las rectas perpendiculares a cada plano.

En el diédrico, cuando trabajamos CON línea de tierra, podemos realizar directamente las rectas perpendiculares. Es decir, la perpendicularidad se visualiza en diédrico entre RECTA y PLANO, a diferencia del paralelismo que sólo se ve entre cosas iguales (plano-plano y recta-recta). Por tanto, podemos construir por en punto P tanto una perpendicular a α (s) como una perpendicular a β (r).

Recta r perpendicular a β.

Recta s perpendicular a α.

En este momento ya tenemos otro ejercicio. Como pasaba en el ejercicio realizado SIN línea de tierra, ahora nos tenemos que centrar en el ángulo que forman las rectas r y s, las cuales se cortan en el punto P. Para ver el ángulo en VERDADERA MAGNITUD, también necesitamos hacer un ABATIMIENTO. En este caso, en lugar de apoyarnos en una recta horizontal, vamos a construir un plano que contenga a ambas rectas r y s. Por esto, obtenemos las trazas de ambas rectas (Vr, Hr, Vs y Hs).

Plano γ (contiene a r y s)

En nuestro caso, la traza Vr no es visible en el “papel” que nos ocupa el ejercicio. No importa, ya que al unir Hr y Hs obtenemos el punto donde la traza horizontal γ1 corta con la LT. Desde ese punto, y pasando también por Vs, obtendremos la traza vertical γ2.

Así, podemos realizar el abatimiento de ambas rectas.

Nuestro “eje de abatimiento” va a ser γ1. Con este dato podemos decir que los puntos del eje, es decir, Hr y Hs (trazas horizontales de las rectas) ya están abatidas ya que serían puntos dobles del abatimiento.

El siguiente punto que vamos a abatir el Vr. Este punto pertenece a γ2, por lo que es el abatimiento más sencillo de realizar. En primer lugar, realizamos un “giro” con centro en el corte de las trazas del plano con la LT y radio hasta Vs. Este arco debe encontrarse con una recta perpendicular al “eje de abatimiento” que pase por la proyección horizontal de Vs. Así, obtendremos V0.

Por tanto, la recta s ya estaría abatida gracias a sus dos trazas Vs y Hs, así que podemos unir. A su vez, ya que el punto P pertenece a ambas rectas, y por tanto a la recta s, realizando una recta perpendicular al “eje de abatimiento” por la traza horizontal P1 (igual que hemos hecho abatiendo Vs), donde corte con s0 tendríamos el punto P abatido (P0).

Por tanto, ya tenemos también dos puntos abatidos de la recta r, Hr y el punto P. por lo que ya tenemos ambas rectas abatidas a partir del plano γ.

Para concluir el ejercicio, solo nos queda señalar el ángulo entre las rectas. Igual que en el caso anterior, he señalado el que es menor de 90° (δ), pero la elección es a gusto o según lo que pida el enunciado.

Me gustaría que intentaseis ejecutar el ejercicio propuesto de ambas formas para que dieseis vuestro punto de vista respecto al debate sobre la Línea de tierra.

Os incrusto también en este caso el protocolo de construcción de este ejercicio realizado en Geogebra para que podáis tener los pasos más detenidamente.

Ángulo entre planos que se cortan (con línea de tierra)_Geogebra

Desde mi punto de vista, generalmente en el colegio siempre se trabaja con LT porque es lo que siempre se ha hecho. Aun así, es importante conocer ambas ejecuciones.

Cuando trabajamos SIN línea de tierra, creo que analizamos de forma más profunda el por qué de cada trazado, por ejemplo, en la construcción de las rectas perpendiculares a los planos. A diferencia de cómo dibujarlas CON línea de tierra, algo que es directo, SIN línea de tierra debemos conocer los elementos que conforman los planos para extraer la información que nos interesa y poder realizar el ejercicio.

Por tanto, creo que ambas opciones son válidas y necesarias de conocer, pero a la hora de estudiar los elementos del diédrico creo que es más completa la forma de analizar el ejercicio SIN línea de tierra. ¿Pensáis lo mismo? Espero vuestros comentarios.

Espero que os haya gustado este paseo por un mismo ejercicio visto desde dos perspectivas diferentes.

Un saludo, y no dejéis de dibujar!!

Inversión_Las básicas

<<Actividad propuesta para la asignatura de Bases en el Máster en Formación del Profesorado>>

Hola a todos los curiosos del dibujo en general y del dibujo técnico en particular!! Después de un parón (obligado) para centrarme en actividades del Máster, vuelvo con ganas aunque con poco tiempo!!

En relación a lo visto en el post anterior, ahora vamos a analizar los casos de INVERSIÓN y la relación con los elementos que expusimos anteriormente. Pero, antes de empezar me surge una duda… ¿para qué analizar estos ejercicios si en Geogebra existe un botón que lo elabora automáticamente? Espero que me contestéis vosotros mismos :)

INVERSIÓN DE UNA RECTA r

Para comenzar, intentaremos analizar las inversiones de una recta según la posición del centro de inversión (O):

1. Inversión de una recta r con O en r

En este caso podemos comprobar en el archivo de Geogebra que la inversa de r será ella misma r’, pero hay que destacar que los únicos puntos dobles son los coincidentes con la cpd (CC’ y DD’).

2. Inversión de una recta r con O fuera de r

Como vemos en el archivo de Geogebra, los elementos de inversión que nos dan son el centro de inversión (O) y la circunferencia de puntos dobles (cpd), que se darán en todos los ejercicios que propongamos. En este caso, el centro de inversión se encuentra fuera de la recta, por lo que su inversa será una circunferencia que pasa por O. Lo podemos “dmeostrar” con el siguiente razonamiento:

- Sabemos que el ángulo ∠OAB siempre va a ser 90 grados, por tanto el ángulo ∠OB’A’ será también 90 grados (ángulos en naranja) por proporción de triángulos. Por tanto, B’ se encontrara en el arco capaz de 90 para OA’. Como la recta r se forma por todas las posiciones posibles de B (moverlo en Geogebra!), su inversa será la circunferencia de diametro OA’.

Presento también la opción de si la cpd corta a la recta r. en este caso ya tendríamos dos PUNTOS DOBLES por los que va a pasar la inversa r’ (circunferencia). Os invito a jugar con ambos archivos y mováis la posición de la recta y veáis los diferentes resultados.

INVERSIÓN DE UNA CIRCUNFERENCIA c

La inversión de una circunferencia varía según la posición del centro de inversión (O), por lo que tenemos que analizar los dos posibles casos.

3. Inversión de una circunferencia c con O en c

Este caso está relacionado con el caso anterior, ya que es el “caso contrario” como podéis imaginar, por tanto, queda claro que la inversa de la circunferencia será UNA RECTA. Esto se debe a que la inversión es INVOLUTIVA. La característica principal de esta recta es que será perpendicular a la recta OA (siendo A el centro de la circunferencia).

Si la cpd cortase a la circunferencia, volveríamos a tener dos puntos dobles, por lo que directamente ya construiríamos la recta inversión c’. Os muestro ambos archivos de Geogebra para que veáis las diferencias.

4. Inversión de una circunferencia c con O fuera de c

En este tipo de inversión conlleva un concepto muy importante en el dibujo técnico: LA TANGENCIA. Ya sabemos que también tiene mucho que ver con potencia, así que vamos a ver cómo utilizarlo para conseguir la inversión.

Pero, si comenzamos a realizar la inversión de dos puntos de la circunferencia A y B: k= OAxOA’=OBxOB’

La potencia desde O hasta la circunferencia c: p=OAxOB

Si dividimos ambas expresiones llegamos al resultado k/p=OA’/OB=OB’/OA. Este resultado nos lleva a la conclusión de que los puntos A’ y B y los puntos B’ y A son HOMOTÉTICOS en la homotecia de centro 0 y razon k/p.

Os invito a ver el trazado de la inversión en el archivo de Geogebra.

Con esto hemos expuestos todos los casos posibles de inversión, por lo que ya podríamos realizar cualquier tipo de ejercicio que se pueda proponer. Por ello, os propongo el siguiente:

- Realizar la inversión de la figura ABCD con respecto al centro de inversión y la razón de inversión dados. (datos en negro y rojo)

En el próximo post resolveremos este ejercicio, espero vuestras dudas y sugerencias sobre el concepto de inversión.

Un saludo, y no dejéis de dibujar!!

La mediatriz (parte III)

<Solución práctica>

Hola a todos los curiosos del dibujo en general y del dibujo técnico en particular!

En la entrada anterior os propuse un ejercicio que me gustaría recordar.

Enunciado: Dada una recta cualquiera, dibujar una circunferencia que pase por los puntos A y B dados, y sea tangente a esta recta r por el punto T dado. 

Como podéis imaginar, si necesitamos encontrar un lugar geométrico en el que los puntos equidisten de los puntos A y B, es ahí donde desarrollaremos la idea de MEDIATRIZ.

Por tanto, el primer paso a seguir es hacer la mediatriz del segmento AB (si no recordáis este proceso, os invito a volver a la entrada antigua del blog La mediatriz (parte 1)).

A continuación nos ayudaremos de una circunferencia auxiliar, la cual pase por los puntos dados A y B. ¿Dónde dispondremos ésta? Claramente, su centro estará en dicha mediatriz, con radio cualquiera. 

Con el punto de corte de la recta r y la prolongación del segmento AB (P), hallaremos las tangentes a la circunferencia auxiliar desde dicho punto P (T' y T''). Para poder hallar las tangentes en la recta r utilizaremos el método llamado potencia. Por ello, sabemos las distancias PT' y PT'' son las mismas, y por consiguiente esa medida será la del radio de la circunferencia con la que obtendremos las tangentes en la recta r (T1 y T2). 

Finalmente, una vez hallados los puntos de tangencia, no nos quedará más que dibujar las perpendiculares a la recta r por T1 y T2, hasta que corten con la MEDIATRIZ del segmento AB. Estos puntos de corte serán los centros de las circunferencias resultado O1 y O2.

Como podemos observar, ambas circunferencias pasan por los puntos AB ya que sus centros se encuentran en la mediatriz de dicho segmento. Vemos así otra de las grandes utilidades de esta herramienta, como poder encontrar centros de circunferencias con cuerdas de ellas.



Como complemento a las fotografías del procedimiento del ejercicio, os adjunto el archivo dinámico del Geogebra para que, como anteriormente, podáis modificar a vuestro antojo los puntos "libres" y veáis las posibles soluciones que ofrece éste.

Hasta aquí cerramos un capítulo de tres entradas sobre la MEDIATRIZ. Pero esto sólo es un punto y a parte, ya que más adelante seguiremos indagando e investigando sobre este elemento esencial en el mundo de la geometría.

Insisto en invitaros a compartir vuestras dudas o sugerencias, las cuales atenderé lo más rápido posible.


Un saludo, y no dejéis de dibujar!!