Inversión_Las básicas

<<Actividad propuesta para la asignatura de Bases en el Máster en Formación del Profesorado>>

Hola a todos los curiosos del dibujo en general y del dibujo técnico en particular!! Después de un parón (obligado) para centrarme en actividades del Máster, vuelvo con ganas aunque con poco tiempo!!

En relación a lo visto en el post anterior, ahora vamos a analizar los casos de INVERSIÓN y la relación con los elementos que expusimos anteriormente. Pero, antes de empezar me surge una duda… ¿para qué analizar estos ejercicios si en Geogebra existe un botón que lo elabora automáticamente? Espero que me contestéis vosotros mismos :)

INVERSIÓN DE UNA RECTA r

Para comenzar, intentaremos analizar las inversiones de una recta según la posición del centro de inversión (O):

1. Inversión de una recta r con O en r

En este caso podemos comprobar en el archivo de Geogebra que la inversa de r será ella misma r’, pero hay que destacar que los únicos puntos dobles son los coincidentes con la cpd (CC’ y DD’).

2. Inversión de una recta r con O fuera de r

Como vemos en el archivo de Geogebra, los elementos de inversión que nos dan son el centro de inversión (O) y la circunferencia de puntos dobles (cpd), que se darán en todos los ejercicios que propongamos. En este caso, el centro de inversión se encuentra fuera de la recta, por lo que su inversa será una circunferencia que pasa por O. Lo podemos “dmeostrar” con el siguiente razonamiento:

- Sabemos que el ángulo ∠OAB siempre va a ser 90 grados, por tanto el ángulo ∠OB’A’ será también 90 grados (ángulos en naranja) por proporción de triángulos. Por tanto, B’ se encontrara en el arco capaz de 90 para OA’. Como la recta r se forma por todas las posiciones posibles de B (moverlo en Geogebra!), su inversa será la circunferencia de diametro OA’.

Presento también la opción de si la cpd corta a la recta r. en este caso ya tendríamos dos PUNTOS DOBLES por los que va a pasar la inversa r’ (circunferencia). Os invito a jugar con ambos archivos y mováis la posición de la recta y veáis los diferentes resultados.

INVERSIÓN DE UNA CIRCUNFERENCIA c

La inversión de una circunferencia varía según la posición del centro de inversión (O), por lo que tenemos que analizar los dos posibles casos.

3. Inversión de una circunferencia c con O en c

Este caso está relacionado con el caso anterior, ya que es el “caso contrario” como podéis imaginar, por tanto, queda claro que la inversa de la circunferencia será UNA RECTA. Esto se debe a que la inversión es INVOLUTIVA. La característica principal de esta recta es que será perpendicular a la recta OA (siendo A el centro de la circunferencia).

Si la cpd cortase a la circunferencia, volveríamos a tener dos puntos dobles, por lo que directamente ya construiríamos la recta inversión c’. Os muestro ambos archivos de Geogebra para que veáis las diferencias.

4. Inversión de una circunferencia c con O fuera de c

En este tipo de inversión conlleva un concepto muy importante en el dibujo técnico: LA TANGENCIA. Ya sabemos que también tiene mucho que ver con potencia, así que vamos a ver cómo utilizarlo para conseguir la inversión.

Pero, si comenzamos a realizar la inversión de dos puntos de la circunferencia A y B: k= OAxOA’=OBxOB’

La potencia desde O hasta la circunferencia c: p=OAxOB

Si dividimos ambas expresiones llegamos al resultado k/p=OA’/OB=OB’/OA. Este resultado nos lleva a la conclusión de que los puntos A’ y B y los puntos B’ y A son HOMOTÉTICOS en la homotecia de centro 0 y razon k/p.

Os invito a ver el trazado de la inversión en el archivo de Geogebra.

Con esto hemos expuestos todos los casos posibles de inversión, por lo que ya podríamos realizar cualquier tipo de ejercicio que se pueda proponer. Por ello, os propongo el siguiente:

- Realizar la inversión de la figura ABCD con respecto al centro de inversión y la razón de inversión dados. (datos en negro y rojo)

En el próximo post resolveremos este ejercicio, espero vuestras dudas y sugerencias sobre el concepto de inversión.

Un saludo, y no dejéis de dibujar!!

Inversión_Primeros pasos

<<Actividad propuesta para la asignatura de Bases en el Máster en Formación del Profesorado>>

Hola a todos los curiosos del dibujo en general y del dibujo técnico en particular!! Después de un parón (obligado) para centrarme en actividades del Máster, vuelvo con ganas aunque con poco tiempo!!

El tema que vamos a tratar en este post es la INVERSIÓN. A muchos os sonarán cosas relacionadas con esto como tangencias, Apolonio...pero quiero comenzar con lo básico para poder abordar bien un concepto no fácil de entender.

En primer lugar quiero que veáis el esquema principal de inversión positiva, los elementos que intervienen y cómo varías según su posición.

 En una inversión, los elementos principales son: 
- centro de inversión (O)
- circunferencia de puntos dobles (cpd): y sus puntos en una inversión positiva, ya que en una inversión negativa la circunferencia es doble pero no sus puntos.
- puntos inversos: para definir la inversión son necesarios si no nos diesen la razón de inversión OAxOA'=k -> OT=raíz de k
- circunferencia de autoinversión: dos pares de puntos son concíclicos.

Para que podáis ver cómo cambian los resultados según la posición del punto B, os dejo el enlace de Geogebra en movimiento.

 Analizando los pares de puntos tenemos que:

- los ángulos opuestos del cuadrilátero inscrito son COMPLEMENTARIOS.

- las rectas r-s y m-n son ANTIPARALELAS (rectas que se cortan en un punto). Las rectas antiparalelas m y n lo son respecto a r y s.

Creo que con estos primeros conceptos importantes podríamos comenzar a adentrarnos en los tipos de inversión. En el siguiente post explicaremos las situaciones en las que intervendrá la inversión, y propondremos ejercicios para que pongáis en práctica la teoría.

Un saludo, y no dejéis de dibujar!!

El Arco Capaz_Teoría

<<Libro de Geometría para el Máster en Formación del Profesorado>>

Hola a todos los curiosos del dibujo en general y del dibujo técnico en particular!! Os traigo una nueva entrada en la que vamos a hablar sobre el ARCO CAPAZ. Estamos realizando un Libro de Geometría y es la parte que me ha tocado analizar, y quería compartirla con vosotros y que me diéseis vuestras opiniones para poder mejorar. Así que, ahí vamos!

Definición de Arco Capaz

El arco capaz es el Lugar Geométrico de los puntos del plano desde los cuales se ven los extremos de un segmento desde un mismo ángulo. El lugar geométrico de todos los puntos, desde los cuales se ve el segmento AB, bajo un mismo ángulo.

El más utilizado es el arco capaz con ángulo λ = 90º. Este caso se corresponde con el 2º Teorema de Thales, de tal modo que el arco capaz es la circunferencia cuyo diámetro es el segmento AB.

Trazado del Arco Capaz

Si pensamos en cómo construir un arco capaz, tenemos que tener claros varios conceptos: mediatriz, tangente y ángulos; ya que con los conceptos sobre los que se construye el arco capaz. Si tenéis dudas sobre alguno de estos términos os recomiendo que echéis la vista atrás al libro y repaséis.

Partimos de un segmento dado AB en el que construiremos nuestro arco capaz. Precisamente, como lo que vamos a hacer es un arco, es decir, una circunferencia que pase por esos dos puntos, será necesario hacer su mediatriz.

A continuación, elegiremos aleatoriamente un centro de circunferencia (Cc) que se encuentre en la mediatriz, y dibujaremos su circunferencia. Con ello, desde el punto A del segmento, tendremos que hallar la recta tangente a la circunferencia que hemos obtenido anteriormente, la cual nos dará el ángulo que se formará en el arco capaz.

((Pensamiento))

¿Por qué no hemos elegido antes el ángulo? Es una pregunta razonable que yo misma me hice, pero quiero que entendáis primeramente la idea global, en la que sea cual sea el ángulo el proceso será el mismo.

Por tanto, si volvemos al último paso que habíamos realizado, vemos que el ángulo alfa se forma tanto entre el segmento y la tangente, como en el arco capaz. También observamos que el ángulo formado bajo el centro de la circunferencia será el doble de alfa, el del arco capaz.

Podemos ver también en la parte de la circunferencia que queda en la parte inferior del segmento, que el ángulo que se forma no es el mismo que en la parte superior. Esto se debe a que ese ángulo resultante es el suplementario del ángulo alfa. Por tanto, en la parte inferior podremos obtener ángulos mayores de 90 grados.

Para que entendáis más en profundidad todo este procedimiento os dejamos un archivo de Geogebra con el que podéis mover tanto el centro de la circunferencia (Cc) como los puntos elegidos en ella (P y Q). ¿Qué observáis? ¿Se mantienen todas las igualdades que hemos explicado anteriormente?

Soluciones simétricas

Existen dos soluciones simétricas. Para encontrar la segunda, dibuja sencillamente un arco con centro en M y radio M-O que cortará a la mediatriz m en el punto O’.

Fotografía obtenida de 10endibujo.com

Arco capaz de los ángulos más comunes

Fotografía obtenida de 10endibujo.com

El arco capaz de los ángulos más comunes para un mismo segmento: 30º, 45º, 60º, 75º y 90º. Date cuenta de que el radio de los arcos es menor cuanto mayor es el ángulo del Arco Capaz.

Aplicaciones del arco capaz
Conocer las propiedades del arco capaz es muy útil en dibujo para resolver problemas geométricos relacionados con ángulos de triángulos.
Es muy típico el ejercicio de triángulos en el que se nos da el valor del ángulo del vértice opuesto a uno de los lados, o bien, podemos deducir del enunciado uno de los valores angulares de forma que necesitemos aplicar el concepto de ARCO CAPAZ.

Os recomiendo que visitéis el enlace de Mongge para comprobar la ejecución de un ejercicio sobre triángulos

También podemos encontrar el uso del arco capaz en ejercicios de construcción de paralelogramos.

Ejemplo: Dibujar un paralelogramo del que se conoce el lado AB=50 mm, el ángulo de las diagonales, correspondiente a ese lado, de 130º, y el punto P, proyección del centro O sobre AB, siendo AP=35 mm.

Ejercicio propuesto
Como se suele decir, no sirve de nada memorizar procesos si nos los entendemos, pero sobre todo si nos lo ponemos en práctica! Por eso, os propongo un ejercicio donde veréis el uso del arco capaz en ejercicios básicos de niveles de bachiller. Los que no hayáis llegado a este nivel, no os preocupéis, os invito a conocer un concepto nuevo: la afinidad. 

Enunciado: Dados dos punto A y B de un triángulo, y O baricentro de éste, construir su triángulo afín sabiendo que el ángulo de C’ forma 90º (triángulo afín rectángulo).

Datos: eje de afinidad, dirección de afinidad, punto A, punto B, punto O (baricentro).


Os dejaré tiempo para que penséis en qué momento del ejercicio utilizaríais el arco capaz, y dentro de unos días compartiré la solución del ejercicio con vosotros.




Espero que os haya gustado esta entrada con la explicación teórica sobre el arco capaz. Si os surgen dudas de algún tipo no dudéis en dejar comentarios en el blog. 

Un saludo, y no dejéis de dibujar!!

Practicando con Geogebra_Tangencias

<Circunferencia tangente a dos rectas por T>

Hola a todos los curiosos del dibujo en general y del dibujo técnico en particular! 
Vuelvo con otra prácticas con Geogebra calentita, recién salida del ordenador.

En este caso os voy a mostrar un ejercicio donde he utilizado la posibilidad de variación de esta herramienta con la que podáis ver todas las posibles soluciones que este tipo de ejercicio tiene.

Enunciado: Dibujar una circunferencia tangente a dos rectas, dado un punto de tangencia en una de ellas (T).

Como primer punto importante, recordar que tenemos que encontrar una circunferencia que sea tangente a dos circunferencias a la vez, por lo que sabemos que su centro se encontrará en la BISECTRIZ del ángulo entre ambas. Os podéis preguntar el por qué: necesitamos un lugar geométrico en el que los puntos equidisten de ambas rectas con el mismo valor. 

Por otro lado, dado un punto de tangencia (T) de una de las rectas, recordamos que el radio de la circunferencia resultado será PERPENDICULAR a la recta con la cual forma la tangencia.

Con estos dos recordatorios (que en otras entradas explicaremos más detenidamente) ponemos proceder a ver las posibles soluciones del ejercicio.

En este cuadro de Geogebra tenéis dos parámetros que podéis modificar con "cierta libertad": uno es el ángulo entre las rectas, y otro es el punto de tangencia dado por el enunciado (T).


Espero que os sirva para investigar y practicar ciertos términos que se trabajan aquí (bisectriz, perpendicularidad, tangencia...). Más adelante analizaré más detenidamente todos estos términos por si han surgido dudas en este procedimiento. 
No dudéis en dejarme sugerencias o dudas que tengáis sobre esta y otras entradas, y no dudaré en proporcionares soluciones a ellas.

Un saludo, y no dejéis de dibujar!!

EL TEOREMA DE THALES (con práctica)

<Ejercicio para entender el uso del teorema>

Hola a todos los curiosos del dibujo en general y del dibujo técnico en particular! Abro mi primer post de este blog con una actividad propuesta en el aula de Bases conceptuales de la Representación Gráfica. 

En esta entrada nos vamos a centrar en el Teorema de Thales, una de las piezas fundamentales si hablamos de la PROPORCIÓN. Antes de explicarlo con un ejercicio, haremos una introducción teórica de este:

Teorema de Thales: "Si cortamos dos rectas cualesquiera por varias rectas paralelas, los segmentos correspondientes en ambas son proporcionales, es decir, se corresponden en igualdad, en la suma y en la resta."

m/n = m’/n’ 

   

m/n = (m+m’)/(n+n’) 

  

n/p = (n+n’)/p’

Fuente: Intef (Ministerio de Educación, Cultura y Deporte) http://recursostic.educacion.es/artes/plastic/web/cms/index.php?id=3664

A continuación, proponemos un ejercicio práctico para entender este teorema.

Enunciado: Trazar un triángulo de perímetro p=35 cm teniendo sus lados una proporción a, b, c= 2, 4, 5.

Comenzaremos el ejercicio dibujando dos rectas cualesquiera unidas por un punto cualquiera O. Con estas rectas podremos realizar la relación de proporcionalidad o Teorema de Thales.

En una recta colocaremos las medidas de las proporciones dadas por el enunciado (a=2, b=4, c=5). Estas medidas se mantendrán sea cual sea el perímetro del triángulo, serán MEDIDAS FIJAS. En la otra recta ponemos la medida del perímetro, con la que conseguiremos construir el triángulo que nos piden en el enunciado.

Como veíamos en la explicación teórica del Teorema de Thales, para conseguir la proporcionalidad ahora tenemos que relacionar ambas rectas con otras paralelas. La dirección nos la dará la recta que une los últimos puntos de cada segmento, el del perímetro (P) y el de la última proporción (I3). Una vez que sabemos esta dirección, hacemos pasar paralelas por los otros puntos dados por las proporciones (I1 e I2), para conseguir “llevar” esta proporción al perímetro.

Una vez realizado este paso, ya hemos conseguido las medidas necesarias para construir nuestro triángulo proporcionado. Podemos dibujarlo ahí mismo, sin necesidad de desplazarnos del papel. Sólo tenemos que unir los lados a y c en torno al lado b. Esto lo conseguiremos realizando sendas circunferencias con radio ambos lados, las cuales nos darán el punto de corte (G) con el que hallaremos dicho triángulo.

Si analizamos razonadamente el ejercicio, podemos comprobar que se puede extrapolar el resultado de este triángulo sea cual sea el perímetro, ya que el Teorema de Thales no entiende de medidas sino de PROPORCIONES. El paralelismo de las rectas que unen ambas medidas (cualesquiera) son las que otorgan esta proporción.

Espero que os haya sido de gran ayuda este ejercicio explicativo de la utilización del Teorema de Thales. Cualquier duda o sugerencia no dudéis en escribir a continuación.

Un saludo, y no dejéis de dibujar!!