El Arco Capaz_Resolución del Ejercicio Propuesto

<<Libro de Geometría para el Máster en Formación del Profesorado>>

Hola a todos los curiosos del dibujo en general y del dibujo técnico en particular!!

Volvemos con la continuación de la entrada anterior sobre el ARCO CAPAZ. Si recodáis, os propuse un ejercicio sobre afinidad donde se utiliza el arco capaz, para alejarnos de los típicos ejercicios de triángulos que seguro que ya controláis.

Enunciado: Dados dos punto A y B de un triángulo, y O baricentro de éste, construir su triángulo afín sabiendo que el ángulo de C’ forma 90º (triángulo afín rectángulo).

Datos: eje de afinidad, dirección de afinidad, punto A, punto B, punto O (baricentro).

Como vemos, se nos plantea un ejercicio de AFINIDAD, y aunque más adelante nos referiremos exclusivamente en este concepto, os adelanto características sobre ello: necesitamos un eje de afinidad y una dirección de afinidad. El eje lo forman puntos dobles, es decir, que los puntos son tanto reales como afines al mismo tiempo. 

Con esta breve introducción podemos empezar a resolver el ejercicio. En primero lugar vamos a intentar construir el triángulo ABC con los datos que tenemos. ¿Podemos? Quizá con el baricentro...Podeís reflexionarlo un momento. ¿Qué es el Baricentro? ¿Cómo se relaciona con los lados del triángulo?

Si haceis memoria...1/3-2/3. El segmento donde se encuentra el baricentro es la MEDIANA, en la cual tenemos que la medida OM es 1/3 de toda la mediana, por lo que si queremos saber la posición de C sólo tendremos que trasladar esta medida dos veces hacia arriba.

En el extremos encontraremos el punto C del triángulo, por lo que ya tenemos el triángulo ABC completo.

A continuación tenemos que plantear cómo podemos conseguir que el triángulo afín tenga el ángulo C' de 90º. Como hemos dicho anteriormente, el eje está formado por puntos dobles, por tanto si prolongamos las rectas AC y BC, obtendremos puntos dobles de esas rectas, por lo que las rectas afines A'C' y B'C' pasarán por esos punto I1 e I2.

Si el ángulo C' tiene que ser recto (90º), ese ángulo se encuentra bajo el segmento A'B', por lo que también se encontrará bajo el segmento I1I2. Aquí será donde podremos dibujar nuestro ARCO CAPAZ de 90º.

¿Y en qué parte del arco capaz se encuentra exactamente el punto C'? Necesitaremos dibujar una recta PARALELA a la DIRECCIÓN de afinidad dada.

Con esto podemos dibujar las rectas afines CI1 y C'I1, CI2 y C'I2. Comprobamos así que el ángulo C' que obtenemos es recto (90º)

Para acabar el ejercicio sólo nos quedará posicionar los puntos afines A' y B', los cuales estarán en la intersección de las rectas afines con las rectas paralelas a la dirección de afinidad desde el punto A y B.

Por tanto, ya tenemos el ejercicio resuelto: triángulo rectángulo afín A'B'C' del triángulo ABC.

Espero que hayáis entendido todo el proceso, y para que analicéis las partes de éste os dejo el ejercicio resuelto en Geogebra con el que podréis modificar la posición de los puntos A y B y veréis cómo cambia la respuesta.

Con esto me despido, y ya sabéis, cualquier duda o sugerencia no dudéis en dejarme un comentario. 

Un saludo, y no dejéis de dibujar!!

Teorema de Thales (a moverse!)

Hola a todos los curiosos del dibujo en general y del dibujo técnico en particular! 

En referencia a la primera entrada del blog, sobre el Teorema de Thales, os dejamos en esta nueva entrada un recurso dinámico desde el programa Geogebra con el mismo ejercicio propuesto en la entrada anterior. 
Esperamos que os sirva de ayuda para entender bien el procedimiento que utilizamos.

Recordamos el enunciado: Trazar un triángulo de perímetro p=35 cm teniendo sus lados una proporción a, b, c= 2, 4, 5.

Como podéis observar manejando el enlace, los elementos estáticos son los datos dados por el ejercicio: las proporciones de los lados a=2, b=4 y c=5 (elementos clave en el Teorema de Thales). 
Todos los demás elementos son los que varían, todo dependiendo de la posición del punto P.

Seguiremos buscando nueva herramientas de trabajo que ayuden a explicar de manera más clara todos los ejercicios que propongamos. 

Un saludo, y no dejéis de dibujar!!

EL TEOREMA DE THALES (con práctica)

<Ejercicio para entender el uso del teorema>

Hola a todos los curiosos del dibujo en general y del dibujo técnico en particular! Abro mi primer post de este blog con una actividad propuesta en el aula de Bases conceptuales de la Representación Gráfica. 

En esta entrada nos vamos a centrar en el Teorema de Thales, una de las piezas fundamentales si hablamos de la PROPORCIÓN. Antes de explicarlo con un ejercicio, haremos una introducción teórica de este:

Teorema de Thales: "Si cortamos dos rectas cualesquiera por varias rectas paralelas, los segmentos correspondientes en ambas son proporcionales, es decir, se corresponden en igualdad, en la suma y en la resta."

m/n = m’/n’ 

   

m/n = (m+m’)/(n+n’) 

  

n/p = (n+n’)/p’

Fuente: Intef (Ministerio de Educación, Cultura y Deporte) http://recursostic.educacion.es/artes/plastic/web/cms/index.php?id=3664

A continuación, proponemos un ejercicio práctico para entender este teorema.

Enunciado: Trazar un triángulo de perímetro p=35 cm teniendo sus lados una proporción a, b, c= 2, 4, 5.

Comenzaremos el ejercicio dibujando dos rectas cualesquiera unidas por un punto cualquiera O. Con estas rectas podremos realizar la relación de proporcionalidad o Teorema de Thales.

En una recta colocaremos las medidas de las proporciones dadas por el enunciado (a=2, b=4, c=5). Estas medidas se mantendrán sea cual sea el perímetro del triángulo, serán MEDIDAS FIJAS. En la otra recta ponemos la medida del perímetro, con la que conseguiremos construir el triángulo que nos piden en el enunciado.

Como veíamos en la explicación teórica del Teorema de Thales, para conseguir la proporcionalidad ahora tenemos que relacionar ambas rectas con otras paralelas. La dirección nos la dará la recta que une los últimos puntos de cada segmento, el del perímetro (P) y el de la última proporción (I3). Una vez que sabemos esta dirección, hacemos pasar paralelas por los otros puntos dados por las proporciones (I1 e I2), para conseguir “llevar” esta proporción al perímetro.

Una vez realizado este paso, ya hemos conseguido las medidas necesarias para construir nuestro triángulo proporcionado. Podemos dibujarlo ahí mismo, sin necesidad de desplazarnos del papel. Sólo tenemos que unir los lados a y c en torno al lado b. Esto lo conseguiremos realizando sendas circunferencias con radio ambos lados, las cuales nos darán el punto de corte (G) con el que hallaremos dicho triángulo.

Si analizamos razonadamente el ejercicio, podemos comprobar que se puede extrapolar el resultado de este triángulo sea cual sea el perímetro, ya que el Teorema de Thales no entiende de medidas sino de PROPORCIONES. El paralelismo de las rectas que unen ambas medidas (cualesquiera) son las que otorgan esta proporción.

Espero que os haya sido de gran ayuda este ejercicio explicativo de la utilización del Teorema de Thales. Cualquier duda o sugerencia no dudéis en escribir a continuación.

Un saludo, y no dejéis de dibujar!!