Ángulo entre planos que se cortan_Ejercicio y debate (parte 01)

<<Ejercicio como debate sobre el uso de la línea de tierra: necesaria o prescindible>>

Hola a todos los curiosos del dibujo en general y del dibujo técnico en particular!!

Ahora mismo estamos inmersos en las entregas finales del Máster en Formación del Profesorado, junto con Memorias de las Prácticas y el temido TFM! Pero uno de los trabajos finales de la asignatura “Dibujo asistido por ordenador” me ha dado la idea para la siguiente entrada del blog. Espero que os parezca interesante!!

En primer lugar, os voy a contar un poco el contexto en el que se encuentra el ejercicio propuesto. En esta asignatura nos propusieron construir una pieza en 3D con un programa informático (en mi caso Rhinoceros), a partir de la cual pudiésemos obtener diferentes ejercicios geométricos, entre los que se encuentra un ejercicio del SISTEMA DIÉDRICO.

Como comprobareis en la imagen que viene a continuación, el ejercicio propuesto a través de la pieza es el siguiente:

"Ángulo entre dos planos que se cortan"

Para resolver este ejercicio, si observáis el esquema en la parte superior, será necesario obtener dos rectas perpendiculares a ambos planos que se corten en un punto cualquiera P. Por igualdad de ángulos, el ángulo que forman las rectas será el mismo que formen los planos. Observamos que hay dos posibles ángulos entre planos, uno menor de 90° y otro mayor de 90°. Según el ángulo que obtengamos entre las rectas se referirá a uno u a otro.

Al querer realizar este ejercicio, me surgió el debate de si hacerlo CON o SIN línea de tierra. Para analizar si debe ser necesaria para realizar ejercicios en diédrico, o si es prescindible, voy a resolverlo de ambas formas. Así, analizaré de qué manera es más intuitivo o más fácil.

- SIN línea de tierra.

En primer lugar, centrándome en el método genérico, realizaré el ejercicio sin línea de tierra. Como comentaba anteriormente, para resolver este ejercicio necesitamos de cada plano una recta perpendicular que pase por un punto cualquiera M.

Enunciado del ejercicio

Al no tener línea de tierra, necesitamos situar tanto una recta horizontal como una frontal de cada plano, con las cuales podremos encontrar esas rectas perpendiculares que estamos buscando.

Como vemos en la imagen superior, hemos obtenido los siguientes elementos:

- Del plano ABCD: la recta horizontal h1 (roja) y la recta frontal f1 (azul).

- Del plano CDEF: la recta horizontal h2 (roja) y la recta frontal f2 (azul).

A partir de estas rectas construiremos las que son perpendiculares. Para ello, debemos situar un punto cualquiera (M) del espacio, por donde van a pasar ambas perpendiculares.

Para construir las perpendiculares, gracias tanto a la recta horizontal como a la frontal de cada plano, tenemos las direcciones de éste. Por ello, la recta perpendicular al plano será la que tenga sus proyecciones perpendiculares tanto a la proyección vertical de la recta horizontal (h1 y h2) como a la proyección horizontal de la recta frontal (f1’ y f2’).

Así, obtenemos t1 (verde) del plano ABCD y t2 (verde) del plano CDEF. Ahora nos tenemos que “olvidar” de lo anterior y centrarnos únicamente en estas rectas, ya que lo que necesitamos averiguar es el ángulo que hay entre ellas.

Para poder ver el ángulo en VERDADERA MAGNITUD, tenemos que hacer un ABATIMIENTO, el cual realizaremos apoyándonos en una recta horizontal h3 (azul oscura) que corte a ambas rectas t1 y t2.

Gracias a la recta h3, que actuará de “eje de abatimiento”, podemos realizar el abatimiento del punto M. Para ello, debemos tomar la “cota” de M desde la recta h3 y colocarla desde la proyección horizontal de M en paralelo a la proyección horizontal de h3.

Al colocar la cota en la proyección horizontal, obtenemos el radio de abatimiento de ese punto. Por lo que, con la circunferencia de radio Mh3 y centro M y una perpendicular desde M al “eje de abatimiento” (h3), obtendremos M0.

A su vez, si os fijáis en la imagen superior, hay dos puntos donde cortan las rectas t1 y t2 con el “eje de abatimiento” (h3), señalados por un punto negro. Esos puntos, al estar en el eje, son puntos dobles, es decir, el punto y su abatido corresponden. Por tanto, si unimos cada uno de esos puntos con el punto M0 obtendremos las rectas t1 y t2 abatidas.

En mi caso, el ángulo que he seleccionado como ángulo entre rectas y, por tanto, ángulo entre los planos ABCD y CDEF es el menor de 90°.

Os inserto el en lace al archivo de Geogebra donde podéis ver el protocolo de construcción del ejercicio. No he podido incrustarlo en el blog como de costumbre porque es un archivo muy largo.

Ángulo entre planos que se cortan_Geogebra


En la siguiente entrada del blog explicaremos cómo desarrollar este ejercicio CON línea de tierra, y así poder analizar las diferencias entre una ejecución y otra.

Un saludo, y no dejéis de dibujar!!

Inversión_Las básicas

<<Actividad propuesta para la asignatura de Bases en el Máster en Formación del Profesorado>>

Hola a todos los curiosos del dibujo en general y del dibujo técnico en particular!! Después de un parón (obligado) para centrarme en actividades del Máster, vuelvo con ganas aunque con poco tiempo!!

En relación a lo visto en el post anterior, ahora vamos a analizar los casos de INVERSIÓN y la relación con los elementos que expusimos anteriormente. Pero, antes de empezar me surge una duda… ¿para qué analizar estos ejercicios si en Geogebra existe un botón que lo elabora automáticamente? Espero que me contestéis vosotros mismos :)

INVERSIÓN DE UNA RECTA r

Para comenzar, intentaremos analizar las inversiones de una recta según la posición del centro de inversión (O):

1. Inversión de una recta r con O en r

En este caso podemos comprobar en el archivo de Geogebra que la inversa de r será ella misma r’, pero hay que destacar que los únicos puntos dobles son los coincidentes con la cpd (CC’ y DD’).

2. Inversión de una recta r con O fuera de r

Como vemos en el archivo de Geogebra, los elementos de inversión que nos dan son el centro de inversión (O) y la circunferencia de puntos dobles (cpd), que se darán en todos los ejercicios que propongamos. En este caso, el centro de inversión se encuentra fuera de la recta, por lo que su inversa será una circunferencia que pasa por O. Lo podemos “dmeostrar” con el siguiente razonamiento:

- Sabemos que el ángulo ∠OAB siempre va a ser 90 grados, por tanto el ángulo ∠OB’A’ será también 90 grados (ángulos en naranja) por proporción de triángulos. Por tanto, B’ se encontrara en el arco capaz de 90 para OA’. Como la recta r se forma por todas las posiciones posibles de B (moverlo en Geogebra!), su inversa será la circunferencia de diametro OA’.

Presento también la opción de si la cpd corta a la recta r. en este caso ya tendríamos dos PUNTOS DOBLES por los que va a pasar la inversa r’ (circunferencia). Os invito a jugar con ambos archivos y mováis la posición de la recta y veáis los diferentes resultados.

INVERSIÓN DE UNA CIRCUNFERENCIA c

La inversión de una circunferencia varía según la posición del centro de inversión (O), por lo que tenemos que analizar los dos posibles casos.

3. Inversión de una circunferencia c con O en c

Este caso está relacionado con el caso anterior, ya que es el “caso contrario” como podéis imaginar, por tanto, queda claro que la inversa de la circunferencia será UNA RECTA. Esto se debe a que la inversión es INVOLUTIVA. La característica principal de esta recta es que será perpendicular a la recta OA (siendo A el centro de la circunferencia).

Si la cpd cortase a la circunferencia, volveríamos a tener dos puntos dobles, por lo que directamente ya construiríamos la recta inversión c’. Os muestro ambos archivos de Geogebra para que veáis las diferencias.

4. Inversión de una circunferencia c con O fuera de c

En este tipo de inversión conlleva un concepto muy importante en el dibujo técnico: LA TANGENCIA. Ya sabemos que también tiene mucho que ver con potencia, así que vamos a ver cómo utilizarlo para conseguir la inversión.

Pero, si comenzamos a realizar la inversión de dos puntos de la circunferencia A y B: k= OAxOA’=OBxOB’

La potencia desde O hasta la circunferencia c: p=OAxOB

Si dividimos ambas expresiones llegamos al resultado k/p=OA’/OB=OB’/OA. Este resultado nos lleva a la conclusión de que los puntos A’ y B y los puntos B’ y A son HOMOTÉTICOS en la homotecia de centro 0 y razon k/p.

Os invito a ver el trazado de la inversión en el archivo de Geogebra.

Con esto hemos expuestos todos los casos posibles de inversión, por lo que ya podríamos realizar cualquier tipo de ejercicio que se pueda proponer. Por ello, os propongo el siguiente:

- Realizar la inversión de la figura ABCD con respecto al centro de inversión y la razón de inversión dados. (datos en negro y rojo)

En el próximo post resolveremos este ejercicio, espero vuestras dudas y sugerencias sobre el concepto de inversión.

Un saludo, y no dejéis de dibujar!!

Practicando con Geogebra_Tangencias

<Circunferencia tangente a dos rectas por T>

Hola a todos los curiosos del dibujo en general y del dibujo técnico en particular! 
Vuelvo con otra prácticas con Geogebra calentita, recién salida del ordenador.

En este caso os voy a mostrar un ejercicio donde he utilizado la posibilidad de variación de esta herramienta con la que podáis ver todas las posibles soluciones que este tipo de ejercicio tiene.

Enunciado: Dibujar una circunferencia tangente a dos rectas, dado un punto de tangencia en una de ellas (T).

Como primer punto importante, recordar que tenemos que encontrar una circunferencia que sea tangente a dos circunferencias a la vez, por lo que sabemos que su centro se encontrará en la BISECTRIZ del ángulo entre ambas. Os podéis preguntar el por qué: necesitamos un lugar geométrico en el que los puntos equidisten de ambas rectas con el mismo valor. 

Por otro lado, dado un punto de tangencia (T) de una de las rectas, recordamos que el radio de la circunferencia resultado será PERPENDICULAR a la recta con la cual forma la tangencia.

Con estos dos recordatorios (que en otras entradas explicaremos más detenidamente) ponemos proceder a ver las posibles soluciones del ejercicio.

En este cuadro de Geogebra tenéis dos parámetros que podéis modificar con "cierta libertad": uno es el ángulo entre las rectas, y otro es el punto de tangencia dado por el enunciado (T).


Espero que os sirva para investigar y practicar ciertos términos que se trabajan aquí (bisectriz, perpendicularidad, tangencia...). Más adelante analizaré más detenidamente todos estos términos por si han surgido dudas en este procedimiento. 
No dudéis en dejarme sugerencias o dudas que tengáis sobre esta y otras entradas, y no dudaré en proporcionares soluciones a ellas.

Un saludo, y no dejéis de dibujar!!