Inversión_Resolviendo

<<Actividad propuesta para la asignatura de Bases en el Máster en Formación del Profesorado>>

Hola a todos los curiosos del dibujo en general y del dibujo técnico en particular!! 
Ya estamos de vuelta para resolver el ejercicio propuesto en el anterior post! Espero que pudieséis resolverlo con ayuda de los apuntes de inversión.

Volvemos a recordar el enunciado y los datos:
- Realizar la inversión de la figura ABCD con respecto al centro de inversión y la razón de inversión dados. (datos en negro y rojo)

Como podéis comprobar, la mejor opción sería comenzar el ejercicio simplificándolo en alguno de los casos que hemos estudiando anteriormente, es decir, en lugar de tener segmentos y semicircunferencias, dibujaremos las RECTAS y las CIRCUNFERENCIAS que forman la figura para tener elementos que podamos controlar.

Tendríamos entonces los siguientes elementos:
- recta DA que pasa por el centro de inversión O
- recta AB (s)
- circunferencia (c) que pasa por los puntos B y C
- recta CD (r)
Vamos a resolverlo en este orden, así que podéis imaginar que vamos a tener cuatro ejercicios diferentes, los cuales iremos enlazando.

En primer lugar tenemos la INVERSIÓN DE UNA RECTA CON O EN ELLA. Si recordáis, nos tenemos que "apoyar" en la cpd a través de la potencia. Así, encontramos tanto A' como D' ya que la inversa de la recta es ella misma.

El siguiente elemento sería el segmento AB que se encuentra en la recta s, por lo que estamos en la INVERSIÓN DE UNA RECTA CON O FUERA DE ELLA. La inversa será, por tanto, una circunferencia que pasa por O.
Lo primero que vemos es que la recta corta con la cpd, por lo que ta tenemos dos puntos de la circunferencia. Junto con el otro punto inverso A' podemos construir la circunferencia s' y encontrar B'

 El siguiente punto que hay que invertir es el punto C, por tanto el caso sería INVERSIÓN DE UNA CIRCUNFERENCIA CON O FUERA DE ELLA. En este caso vamos a utilizar varias características de este caso:
- el centro de la circunferencia inversa estará en la recta OCentro
- al tener el punto A y A' ya inverso, podemos utilizarlos de "base" de la inversión, por lo que nos olvidaríamos de la circunferencia que pasa por B y C y pensaríamos en C como en un punto cualquiera.Creamos pues la circunferencia que pasa por A, A' y C, y obtendríamos C'
- para obtener el centro de la circunferencia lo podremos hacer con homología o con el método explicado en el anterior post

 El último ejercicio es una repetición de otro anterior: INVERSIÓN DE UNA RECTA CON O FUERA DE ELLA.
en este caso la circunferencia va a pasar por los puntos O, D', C' y los puntos dobles de la cpd GG' y HH'.

Hasta aquí el ejercicio sobre inversión. El resultado final, no solo de la figura sino también de los elementos que la componen sería el siguiente:

Os adjunto el archivo de Geogebra para que podáis jugar con los elementos y ver las diferentes posiciones.

Un saludo, y no dejéis de dibujar!!

Inversión_Las básicas

<<Actividad propuesta para la asignatura de Bases en el Máster en Formación del Profesorado>>

Hola a todos los curiosos del dibujo en general y del dibujo técnico en particular!! Después de un parón (obligado) para centrarme en actividades del Máster, vuelvo con ganas aunque con poco tiempo!!

En relación a lo visto en el post anterior, ahora vamos a analizar los casos de INVERSIÓN y la relación con los elementos que expusimos anteriormente. Pero, antes de empezar me surge una duda… ¿para qué analizar estos ejercicios si en Geogebra existe un botón que lo elabora automáticamente? Espero que me contestéis vosotros mismos :)

INVERSIÓN DE UNA RECTA r

Para comenzar, intentaremos analizar las inversiones de una recta según la posición del centro de inversión (O):

1. Inversión de una recta r con O en r

En este caso podemos comprobar en el archivo de Geogebra que la inversa de r será ella misma r’, pero hay que destacar que los únicos puntos dobles son los coincidentes con la cpd (CC’ y DD’).

2. Inversión de una recta r con O fuera de r

Como vemos en el archivo de Geogebra, los elementos de inversión que nos dan son el centro de inversión (O) y la circunferencia de puntos dobles (cpd), que se darán en todos los ejercicios que propongamos. En este caso, el centro de inversión se encuentra fuera de la recta, por lo que su inversa será una circunferencia que pasa por O. Lo podemos “dmeostrar” con el siguiente razonamiento:

- Sabemos que el ángulo ∠OAB siempre va a ser 90 grados, por tanto el ángulo ∠OB’A’ será también 90 grados (ángulos en naranja) por proporción de triángulos. Por tanto, B’ se encontrara en el arco capaz de 90 para OA’. Como la recta r se forma por todas las posiciones posibles de B (moverlo en Geogebra!), su inversa será la circunferencia de diametro OA’.

Presento también la opción de si la cpd corta a la recta r. en este caso ya tendríamos dos PUNTOS DOBLES por los que va a pasar la inversa r’ (circunferencia). Os invito a jugar con ambos archivos y mováis la posición de la recta y veáis los diferentes resultados.

INVERSIÓN DE UNA CIRCUNFERENCIA c

La inversión de una circunferencia varía según la posición del centro de inversión (O), por lo que tenemos que analizar los dos posibles casos.

3. Inversión de una circunferencia c con O en c

Este caso está relacionado con el caso anterior, ya que es el “caso contrario” como podéis imaginar, por tanto, queda claro que la inversa de la circunferencia será UNA RECTA. Esto se debe a que la inversión es INVOLUTIVA. La característica principal de esta recta es que será perpendicular a la recta OA (siendo A el centro de la circunferencia).

Si la cpd cortase a la circunferencia, volveríamos a tener dos puntos dobles, por lo que directamente ya construiríamos la recta inversión c’. Os muestro ambos archivos de Geogebra para que veáis las diferencias.

4. Inversión de una circunferencia c con O fuera de c

En este tipo de inversión conlleva un concepto muy importante en el dibujo técnico: LA TANGENCIA. Ya sabemos que también tiene mucho que ver con potencia, así que vamos a ver cómo utilizarlo para conseguir la inversión.

Pero, si comenzamos a realizar la inversión de dos puntos de la circunferencia A y B: k= OAxOA’=OBxOB’

La potencia desde O hasta la circunferencia c: p=OAxOB

Si dividimos ambas expresiones llegamos al resultado k/p=OA’/OB=OB’/OA. Este resultado nos lleva a la conclusión de que los puntos A’ y B y los puntos B’ y A son HOMOTÉTICOS en la homotecia de centro 0 y razon k/p.

Os invito a ver el trazado de la inversión en el archivo de Geogebra.

Con esto hemos expuestos todos los casos posibles de inversión, por lo que ya podríamos realizar cualquier tipo de ejercicio que se pueda proponer. Por ello, os propongo el siguiente:

- Realizar la inversión de la figura ABCD con respecto al centro de inversión y la razón de inversión dados. (datos en negro y rojo)

En el próximo post resolveremos este ejercicio, espero vuestras dudas y sugerencias sobre el concepto de inversión.

Un saludo, y no dejéis de dibujar!!

Inversión_Primeros pasos

<<Actividad propuesta para la asignatura de Bases en el Máster en Formación del Profesorado>>

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El tema que vamos a tratar en este post es la INVERSIÓN. A muchos os sonarán cosas relacionadas con esto como tangencias, Apolonio...pero quiero comenzar con lo básico para poder abordar bien un concepto no fácil de entender.

En primer lugar quiero que veáis el esquema principal de inversión positiva, los elementos que intervienen y cómo varías según su posición.

 En una inversión, los elementos principales son: 
- centro de inversión (O)
- circunferencia de puntos dobles (cpd): y sus puntos en una inversión positiva, ya que en una inversión negativa la circunferencia es doble pero no sus puntos.
- puntos inversos: para definir la inversión son necesarios si no nos diesen la razón de inversión OAxOA'=k -> OT=raíz de k
- circunferencia de autoinversión: dos pares de puntos son concíclicos.

Para que podáis ver cómo cambian los resultados según la posición del punto B, os dejo el enlace de Geogebra en movimiento.

 Analizando los pares de puntos tenemos que:

- los ángulos opuestos del cuadrilátero inscrito son COMPLEMENTARIOS.

- las rectas r-s y m-n son ANTIPARALELAS (rectas que se cortan en un punto). Las rectas antiparalelas m y n lo son respecto a r y s.

Creo que con estos primeros conceptos importantes podríamos comenzar a adentrarnos en los tipos de inversión. En el siguiente post explicaremos las situaciones en las que intervendrá la inversión, y propondremos ejercicios para que pongáis en práctica la teoría.

Un saludo, y no dejéis de dibujar!!